Математика. Вписанные и описанные окружности.

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.  Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.  Для треугольника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

• Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
• В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
• Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: r=Spr=Sp , где S - площадь треугольника, а p=a+b+c2p=a+b+c2 - полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

• Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
• В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
• Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: R=a⋅b⋅c4SR=a⋅b⋅c4S, где S - площадь треугольника.

Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной.

• Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

• Радиус вписанной окружности находят по формулам: r=a⋅ba+b+cr=a⋅ba+b+c, и r=a+b−c2r=a+b−c2, где a и b катеты прямоугольного треугольника, а c гипотенуза прямоугольного треугольника..

• Окружность, описанная около треугольника

  Окружность называют описанной около треугольника, если все вершины треугольника расположены на окружности.

  Её центр равноудалён от всех вершин, то есть должен находиться в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

  Следовательно, около любого треугольника можно описать окружность, так как серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке.

   

  

   

  Для остроугольного треугольника центр окружности находится в треугольнике.

   

  Другая ситуация с прямоугольным и тупоугольным треугольниками.

   

                

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

• Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
• Радиус равен половине гипотенузы: R=c2R=c2.
• Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: R=mcR=mc.

Четырехугольник, описанный около окружности

• Четырехугольник ABCD можно описать около окружности, если суммы противолежащих сторон равны AB + CD = BC + AD.
• Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.
• Площадь: S=p⋅rS=p⋅r, где r - радиус вписанной окружности, а p=a+b+c+d2p=a+b+c+d2 - полупериметр.

Четырехугольник, вписанный в окружность

• Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна 180∘:α+β+γ+δ=180∘180∘:α+β+γ+δ=180∘.
• Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны 180∘180∘.
• Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: AB⋅DC+AD⋅BC=BD⋅ACAB⋅DC+AD⋅BC=BD⋅AC.
• Площадь: S=√(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)S=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d), где p=a+b+c+d2p=a+b+c+d2 - полупериметр четырехугольника.

Окружность, вписанная в ромб

• В любой ромб можно вписать окружность.
• Радиус r вписанной окружности: r=h2r=h2, где h - высота ромба или r=d1⋅d24ar=d1⋅d24a, где a - сторона ромба, d₁ и d₂ - диагонали ромба.