Разработка урока "Вписанная окружность"

Школа: МОУ «Лицей №1» г. Воркуты.

Учитель: Курылева Светлана Сергеевна

Предмет: Геометрия

Класс: 8 (с углубленным изучением математики).

Тема: Описанные четырехугольники (четвертый урок по теме «Вписанная и описанная окружности»)

Тип урока: урок обучения умениям и навыкам.

Форма урока: комбинированный урок.

Формы работы, используемые на уроке: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Методы и приемы, используемые на уроке: словестные, наглядные, поисковые; учет возрастных особенностей, создание ситуации успеха, выбор действия в соответствии с возможностями ученика.

Цели на урок: ввести понятие описанного многоугольника, ознакомить учащихся со свойствами описанного четырехугольника.

Задачи на урок:

• дидактические: изучить определение описанного четырёхугольника, доказать теорему о свойстве сторон описанного четырёхугольника, познакомить с двойственностью свойств сумм противоположных сторон и противоположных углов вписанного и описанного четырёхугольников, дать опыт практического применения рассмотренных теорем при решении задач, провести первичный контроль уровня усвоения нового материала.

• развивающие: развивать познавательный интерес у учащихся, логическое мышление, интеллектуальные способности; формировать математическую речь; развивать умения применять знания в конкретной ситуации; развитие самостоятельной деятельности обучающихся.

• воспитательные: воспитывать у учащихся потребность в приобретении и углублении знаний, вырабатывать умение слушать и вести диалог, формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради.

Оборудование: компьютеры, мультимедийный проектор, экран, листы на каждого ученика с подбором заданий по теме урока, заданий для индивидуальной работы, таблица «Примеры описанных четырехугольников», компьютерный тест по теме «Вписанные и описанные многоугольники».

Средства обучения: мультимедийная презентация к уроку «Описанные четырехугольники».

Программные средства: Microsoft Word, Microsoft Power Point.

План урока:

1. Организационный момент. (2 мин.)

2. Актуализация знаний. (8 мин.)

3. Изучение нового материала. (11 мин.)

4. Решение задач. (20 мин.)

5. Домашнее задание.(1 мин.)

6. Рефлексия. Итоги урока. (3 мин.)

План – конспект урока по теме «Вписанная окружность»

I.Организационный момент

Проверка готовности учащихся, сообщение темы и цели урока, постановка задач.

II.Актуализация знаний.

1. Математический диктант.

1. Можно ли описать окружность около параллелограмма? Прямоугольника? Ромба? Почему?

2. Может ли вписанный в окружность четырехугольник иметь равные стороны, но неравные углы? Почему?

3. Может ли вписанный в окружность многоугольник иметь равные углы, но неравные стороны? Почему?

4. Можно ли описать окружность около пятиугольника с углами 80⁰, 90⁰, 100⁰, 130⁰, 140⁰? Почему?

5. Какой четырехугольник называется дельтоидом? Перечислите его свойства.

1. Устная работа

• Внимательно рассмотрите рисунки (слайд 2). Как вы думаете, какие многоугольники являются описанными около окружности. Почему вы так решили?

• Как можно назвать стороны этих четырехугольников по отношению к окружности?

• Попробуйте сформулировать определение описанного многоугольника (слайд 3).

III.Учебно-познавательная деятельность.

Перейдем теперь к рассмотрению описанных многоугольников. Ситуация здесь в некотором смысле двойственная по отношению к вписанным многоугольникам. При этом стороны описанного многоугольника двойственны углам вписанного многоугольника. Так, например, если для вписанного четырехугольника необходимым и достаточным условием является равенство сумм противолежащих углов, то для описанного выпуклого четырехугольника необходимым и достаточным условием является равенство сумм противоположных сторон. А именно, имеют место следующие теоремы.

Теорема 1 (свойство сторон описанного четырехугольника)

Суммы противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны (слайды 4,5 разработала группа наиболее подготовленных учащихся класса в качестве домашней работы к уроку)

Теорема 2 (признак четырехугольника, в который можно вписать окружность)

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность (слайд 6 разработала группа наиболее подготовленных учащихся класса в качестве домашней работы к уроку). Учащимся предлагается самостоятельно разобрать доказательство по учебнику (работа с учебником в течение 5 минут, после чего учащиеся могут задавать вопросы по доказательству).

IV. Решение задач.

1. Устная работа

1. Можно ли вписать окружность в прямоугольник?

2. Можно ли вписать окружность в квадрат?

3. Можно ли вписать окружность в ромб?

4. Можно ли вписать окружность в параллелограмм?

5. В какие ещё четырехугольники можно вписать окружность?

6. При каком условии можно вписать окружность в трапецию?

7. Задачи слайдов 7 – 11.

Раздается таблица «Примеры описанных четырехугольников»

1. Письменная работа (решение задач по готовым чертежам (слайды 12 – 13))

Замечание: дети делятся на две группы: I группа проходит тестирование на компьютере (Приложение 3), другая группа решает задачи совместно с учителем, на тест выделяется по 5 минут, по окончании работы группы меняются местами).

V. Домашнее задание.

Учебник Л.С. Атанасян и др. №696, №697, №698, №700

Геометрия. Дополнительные главы к учебнику: пункт 59 (Теорема Птолемея) разобрать самостоятельно (слайд 14)

Историческая справка (слайд 15)

VI. Итоги урока, рефлексия.

Что нового узнали сегодня на уроке? Чему научились? На какой ступеньке освоения темы вы находитесь? (слайд 16)

Вы все прошли компьютерный тест. Сейчас я предлагаю вам оценить качество работы на уроке. Если вы набрали 9 – 12 баллов – отметка «5»

6 – 8 баллов – отметка «4»

3 – 5 баллов – отметка «3»

Ну а те, кто выполнил менее 3 заданий, сделайте соответствующие выводы, попробуйте установить причину, по которой вы не справились с заданием и устранить её.

Приложение 1. Примеры описанных четырехугольников

Приложение 2. Задания для творческой группы

1. Приведите пример невыпуклого четырехугольника, у которого суммы противоположных сторон равны, и в который нельзя вписать окружность.

2. Исследовательская работа по карточке.

Приложение 3. Тестирование на компьютере

1. Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его:

1. биссектрис

2. серединных перпендикуляров

3. высот

4. медиан

1. Окружность называется вписанной в многоугольник, если:

1. Все его вершины лежат на окружности

2. Все его стороны имеют общие точки с окружностью

3. Все его стороны являются отрезками касательных к окружности

4. Все его стороны касаются окружности

1. В равносторонний треугольник вписана окружность радиуса 4 см. чему равна сторона треугольника?

1. см

2. см

3. см

4. см

1. Четырехугольник АВСD описан около окружности. см, см, ВС в 2 раза меньше АD. Найти длину ВС.

1. 6 см

2. 22 см

3. 12 см

4. 14 см

1. Равнобедренный треугольник с высотой, проведенной к основанию и равной 16 см, вписан в окружность радиуса 10 см. найти площадь этого треугольника.

Площадь треугольника = см²

1. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С равен 90⁰) АС+ВС=17 см, радиус вписанной в него окружности равен 2 см. Найдите площадь этого треугольника.

Площадь треугольника = см²

Приложение 4. Задачи для классной работы

1. Равнобокая трапеция с основаниями а и b ( )описана около окружности. Найти радиус окружности и косинус угла при большем основании.

2. Около окружности описан четырехугольник ABCD , в котором , , АВ = 2, АD = 3. Найти периметр четырехугольника.

Описанные многоугольники

8 класс

Какие многоугольники являются описанными?

Многоугольники, описанные около окружности

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Свойство описанного около окружности четырехугольника

Суммы противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны .

АВ+СD = BC+AD

Доказательство:

По свойству отрезков касательных

АВ + СD = АА’ + А’В + СС’+ СD’

BC + AD = BB’ + B’C + DD ’+ AD’

Значит, АВ + СD = BC + AD .

Признак описанного четырехугольника

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Если АВ + СD = BC + AD, то

в четырехугольник можно вписать окружность.

Упражнение 1

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 4.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 2

В трапецию, периметр которой равен 56 см, вписана окружность. Три последовательные стороны трапеции относятся как 2:7:12. Найдите стороны трапеции.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 3

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 4

Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 5

Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 6

Равнобокая трапеция с основаниями а и b ( )описана около окружности. Найти радиус окружности и косинус угла при большем основании.

Упражнение 7

Около окружности описан четырехугольник АВСD, в котором

Найти периметр четырехугольника.

Домашнее задание

• Учебник Л.С. Атанасян и др.

№ 696, №697, №698, №700

• Геометрия. Дополнительные главы к учебнику: пункт 59 (Теорема Птолемея) разобрать самостоятельно.

Историческая справка

Клавдий Птолемей — греческий географ, картограф, математик, астроном — родился в Египте, работал главным образом в Александрии.

Учусь решать задачи повышенного уровня

Знаю теорию, умею решать задачи базового уровня

Умею решать задачи, пользуясь справочным материалом

Знаю теорию, но не всегда могу её применить

Не знаю теорию, не умею её применять

Спасибо за урок!