Презентация к занятию "Действительные числа"

Действительные числа

«Алгебра есть не что иное, как математический язык, приспособленный для обозначения отношений между количествами».

И. Ньютон

Знания и навыки обучающихся:

• иметь понятия об:

• иррациональных числах; множестве действительных чисел; модуле действительного числа;
• иррациональных числах; множестве действительных чисел; модуле действительного числа;
• иррациональных числах;
• множестве действительных чисел;
• модуле действительного числа;
• уметь выполнять : вычисления с иррациональными выражениями; сравнивать числовые значения иррациональных выражений
• вычисления с иррациональными выражениями; сравнивать числовые значения иррациональных выражений
• вычисления с иррациональными выражениями;
• сравнивать числовые значения иррациональных выражений

Выполнение заданий: №1(6), №2(6), №3 (6), №4 (2)-дополнительно

Выполнение заданий

11

0,7272

х = - 8/9

1. Необходимость дальнейшего расширения множества чисел связана в основном с двумя причинами:

1)Рациональных чисел недостаточно для выражения результатов измерений (длина диагонали квадрата со стороной 1)

2) Такие числовые выражения не являются рациональными числами

иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь

Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических дробей) даёт множество R действительных чисел

Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь, т.е. дробь вида

+ а 0 ,а 1 а 2 а 3 … или - а 0 ,а 1 а 2 а 3… ,

где а 0 - целое неотрицательное число, а каждая из букв а 1 ,а 2 ,а 3 ,… - одна из десяти цифр:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Например:

1) π = 3,1415… а 0 = 3 а 1 =1 а 2 = 4 а 3 =1 а 4 =5 …

2)- √234 = - 15,297058… а 0 = 15 а 1 =2 а 2 = 9 а 3 =7 а 4 =0 …

3)37,19 а 0 = 37 а 1 =1 а 2 = 9 а n =0 при n≥3

Действительное число может быть

положительным, отрицательным или равным нулю.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Действия с бесконечными десятичными дробями.

Например, вычислим приближенные значения

Решение:

Воспользуемся калькулятором и найдем значения и

Имеем

Найдем с точностью до единицы

и , тогда

Найдем с точностью до одной десятой

и , тогда

Найдем с точностью до одной сотой

и , тогда

Аналогично, вычисляя произведение с точностью до 0,1, получаем

2. Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Вычислим сумму

с точностью до единицы:

с точностью до десятой:

с точностью до сотой:

Числа 3; 3,1; 3,15 и т.д. являются последовательными приближениями значения суммы

3. Все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел

Переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.

4. Модуль действительного числа х обозначается | х | и определяется так же, как и модуль рационального числа:

Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Определение.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.

Задача №1.

Доказать, что геометрическая прогрессия, заданная формулой -го члена , является бесконечно убывающей.

Решение:

Найдем первый и второй члены заданной геометрической прогрессии:

Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

Так как модуль полученного знаменателя меньше единицы, т.е. , то по определению данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Выведем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с помощью формулы суммы первых членов геометрической прогрессии

(4)

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Решение:

Выпишем и и найдем :

Задача №3. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ,

Решение:

Необходимо найти , поэтому воспользуемся формулой , тогда

Подставим данные,

Домашнее задание Выучить определения №18 (2,4) №19 (3)