Презентация "Комбинаторика"

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика –

самостоятельная

ветвь

математической

науки

КОМБИНАТОРИКА

- это раздел математики, в котором изучаются простейшие « соединения »: перестановки, размещения, сочетания.

(Большой Энциклопедический Словарь)

- происходит от латинского слова « combina », что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Разделы комбинаторики :

• Перечислительная
• Структурная
• Вероятностная
• Топологическая

Перестановки – соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Число n называется порядком перестановки.

n- факториал- это произведение всех натуральных чисел от до единицы до n , обозначают символом ! Используя знак факториала, можно, например, записать: 1! = 1, 2! = 2*1=2, 3! = 3*2*1=6, 4! = 4*3*2*1=24, 5! = 5*4*3*2*1 = 120. Необходимо знать, что 0! = 1

Задача

Квартет

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?

Решение:

Здесь n =4, поэтому способов «усесться чинно в ряд» имеется

P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их

Задача В группе 12 обучается 24 студента.

Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение задачи: Ответ: число способов равно числу размещений из 24 по 3, т.е. 12144 способа.

Сочетания – соединения, содержащие по m предметов из n , различающихся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их

Задача Студентам дали список из 10 учебников,

которые рекомендуется использовать для подготовки к экзамену .

Сколькими способами студент может выбрать из них 3 книги?

Решение задачи: Ответ: число способов равно числу сочетаний из 10 по 3, т.е. 120 способов.

Библиографическая справка Термины « перестановки » и « размещения » впервые употребил Якоб Бернулли в книге «Искусство предположений». Термин « сочетания »впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.

Особая примета комбинаторных задач - вопрос , который начинался словами «Сколькими способами…?»

Решение задач: Задача №1 : В соревнованиях участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых ( I, II, III) мест? Задача №2 : Студенты Женя, Сергей, Коля, Наташа и Ольга побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие студенты могут занять очередь для игры в настольный теннис? Задача № 3: В 9 классе учатся 7 учеников, в 10 – 9, а в 11 – 8 учеников. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учеников из 9 класса, трех – из 10 класса и одного – из 11 класса. Сколько существует способов выбора учеников для работы на пришкольном участке?

Исторические сведения

• Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей.

• Первые научные исследования по этой теме принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Чарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Пискамо (1623-1662) и П. Ферма.
• Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

Исторические сведения

Лейбниц Готфрид Вильгельм

Дата рождения: 1 июля 1646 г.

Место рождения: Лейпциг, Германия

Дата смерти: 14 ноября 1716 г.

Место смерти: Ганновер, Германия

Школа/традиция: рационализм

Направление: Европейская философия

Основные интересы: Метафизика, эпистемология, наука, математика.

Связь комбинаторики с другими областями математики: Имеет широкий спектр применения в информатике и статистической физике

алгебра,

геометрия,

теория вероятностей.

Электротехника

В коридоре висят три

лампочки. Сколько имеется

различных способов освещения коридора?

Меню на завтрак

На завтрак Вова может выбрать: плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?