Презентация "Математика на клетке"

Математика на клетке

автор: Новикова Арина

ученица 8 «В» класса

МОУ «Лицей №53»

руководитель: Ползунова

Марина Юрьевна

учитель математики

Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому. Д. Пойя

• Цель работы: поиск, классификация, сравнение задач на клетчатой бумаге и их решения.
• Задачи:
• - рассмотреть задачи на разрезание, раскрашивание, нахождение площади многоугольника,
• -  проанализировать и систематизировать различные методы и приёмы решения задач на нахождение площадей многоугольников на сетке;
• - подобрать наиболее интересные, наглядные примеры;
• -создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам;
• - разработать анкету для проведения опроса среди одноклассников;
• - провести эксперимент среди одноклассников по нахождению оптимального решения задач на нахождение площадей фигур; 
• -провести анализ работы и сформулировать вывод.

Актуальность данного проекта заключается в том, что задачи на клетке помогают развивать геометрические представления на разнообразном материале, способствует развитию логического мышления и повышают интерес к изучению математики, а также такие задачи все чаще используются на олимпиадах и едином государственном экзамене, следовательно, знакомство с ними становится необходимым для каждого школьника.

Задачи на разрезание

трансформирование

дробление

квадрирование

Вывод: Работая с такими занимательными задачами, их построением, доказательством и анализом, развиваются навыки исследовательской работы, а умение правильно разрезать фигуры помогает рационально использовать эти знания в жизненных ситуациях.

Паркеты В математике паркетом называется разбиение плоскости на многоугольники, при котором каждые два многоугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо имеют одну общую сторону.

Задача 1 Ответ

Вывод: решение задач с закрашиванием плоскости позволяет усилить практическую направленность изучения школьного курса математики.

Ответ

Задача 2

Начертите прямоугольник размером 4x6 клеток. Покажите, как его «замостить» трехклеточными уголками так, чтобы никакие два из них не образовывали прямоугольник.

Задачи на нахождение площадей фигур

• Способ подсчета клеток
• Применение формул площадей известных фигур
• Разбиение фигуры на части
• Достраивание до прямоугольника (метод вычитания)
• По формуле Пика

1. Способ подсчета клеток

Площадь многоугольника равна сумме единичных квадратов

На рисунке:

S1 =10 кв.ед.;

S2= 7 кв.ед.;

S3=12 кв.ед.;

S4=12 кв.ед.

2. Применение формул площадей известных фигур

a

S1 = a b

S2 =1/2 ( ab )

S3 = ah

S1

b

S2

a

b

S3

h

a

3. Разбиение фигуры на части

S= S Δ + S  + SΔ + S  + SΔ

S =7+14+3+6+1=31

Способ разбиения на части

Применяется:

Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки, у которых неизвестны формулы нахождения площади

Алгоритм:

• Разбить многоугольник на известные фигуры;
• Найти площадь каждой части (способ № 1 или № 2);
• Найти сумму площадей
• Записать ответ

Преимущества:

Подходит для произвольного многоугольника

Недостатки:

Трудоемкий

S Δ= 1/2*2*7=7 кв.ед.

S  =2*7=14 кв.ед.

SΔ =1/2*2*3=3 кв.ед.

S  =2*3=6 кв.ед.

SΔ =1/2*2*1=1 кв.ед.

4. Достраивание до прямоугольника (метод вычитания)

S= S  - S Δ - SΔ – SΔ

S=42-7-3-1=31

Способ достраивания до прямоугольника

Применяется:

Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки, у которых неизвестны формулы нахождения площади

Алгоритм:

• Достроить фигуру до прямоугольника;
• Найти площадь дополняющих фигур(способ №1 или №2);
• Найти площадь прямоугольника
• Вычесть из площади прямоугольника площади дополняющих фигур

Преимущест-ва:

Подходит для произвольного многоугольника

Недостатки:

Трудоемкий

S  = 6*7=42 кв.ед.

SΔ= 1/2*2*7=7 кв.ед.

SΔ =1/2*2*3=3 кв.ед.

SΔ =1/2*2*1=1кв.ед.

5. По формуле Пика

S= В+ Г/2 – 1

В – количество внутренних узлов,

Г – количество граничных узлов.

S= 26+ 12/2 – 1 = 31 кв.ед.

По формуле Пика

Применяется:

Алгоритм:

Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки

• Посчитать количество внутренних узлов (В);
• Посчитать количество граничных узлов (Г);
• Посчитать площадь фигуры по формуле Пика
• Записать ответ

Преимущества:

Недостатки:

Универсальный

-

ЭКСПЕРИМЕНТ

РЕЗУЛЬТАТЫ

№ задачи

Способ нахождения площади фигуры, затраченное время на решение

1

По клеткам

t, мин.

2

+

-

3

1

По формулам известных фигур

-

4

-

-

t, мин.

+

5

Разбиение фигуры на части

-

-

-

6

t, мин.

+

-

-

-

2

-

-

-

5

-

-

Метод вычитания

-

-

-

-

-

-

t, мин

+

По формуле Пика

-

-

-

-

-

+

5

-

-

+

-

t, мин.

+

-

-

-

15

5

-

+

-

+

7

-

15

+

7

+

-

7

+

8

5

Вывод: из таблицы видно, что не использовался метод разбиения фигуры на части в связи с его трудоемкостью. Метод нахождения площади по формулам известных фигур вызывал трудности в части знания всех формул. Метод нахождения площади многоугольников по формуле Пика использовался во всех задачах, что говорит об его универсальности. Но при его использовании возникали сложности: метод не всегда дает точных результат из-за невозможности правильно определить количество внутренних и внешних узлов. Анализ результатов показал, что единого способа решения задач на нахождения площади многоугольников нет. Для каждой фигуры необходимо подбирать свой метод. И это еще раз подчеркивает актуальность моей работы: зная все способы решения таких задач, можно найти площадь любого многоугольника.

Список использованной литературы:

И.М. Смирнова, В.А. Смирнов Геометрические задачи с практическим содержанием М.: МЦНМО, 2015

Горина Л.В. Одна за всех… Формула Пика. Материал для самообразования учащихся.// Основа, №3 (27), с. 24-28.

Екимова М. А. ,Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002.

Линдгрен Г Занимательные задачи на разрезание. / Пер. с англ. Ю.Н. Сударева М.: Мир, 1977

Трошин В.В. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2. М.: Глобус, 2008

Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

Григорьева Г. И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5 – 6 классы. Метод.пособие. – М.: Глобус, 2009.

Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ