Презентация на тему: "Биквадратные уравнения". (8 класс, алгебра)

«Ум человеческий только тогда понимает обобщения, когда он сам его сделал или проверил.»

Л.Н.Толстой.

Учитель математики МОУ СОШ №3 Галяс М. Ю. г. Комсомольска-на-Амуре, Хабаровского края .

План самостоятельной работы

• Прочитайте определение биквадратного уравнения (учебник стр.64).

• Запишите определение в тетрадь.

• Существенно ли замечание, что а не равно нулю?

• Разберите решенное уравнение в учебнике.

• Составьте алгоритм решения этого уравнения и запишите его.

• Работайте парами Обсудите составленный алгоритм друг с другом.

• Дайте учителю сигнал о готовности, подняв руку.

Биквадратное уравнение – уравнение вида ах 4 + b х 2 +с=0 , где а ≠0 .

Пример : 9х 4 -5х 2 +4=0, х 4 +4х 2 =0.

Алгоритм решения биквадратного уравнения

• Ввести замену переменной: пусть х 2 = t .

• Составить квадратное уравнение с новой переменной: at 2 +bt+c=0 .

• Решить новое квадратное уравнение.

• Вернуться к замене переменной.

• Решить получившиеся квадратные уравнения.

• Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.

• Записать ответ.

Пример: 4х 4 -5х 2 +1=0

Пусть х 2 = t ;

4t 2 -5t+1=0 ;

D=(-5) 2 -4 ·4·1=25-16=9 ;

t 1 = t 2 =

Обратная подстановка:

х 2 = ; х 2 =1;

х 3 =-1; х 4 =1.

х 1 = - ; х 2 =

Ответ: х 1 , 2 = ± , х 3,4 = ± 1.

0 3 x 4 +5x+4=0 Знаки корней нового уравнения t 1 =1, t 2 =9 4 D 0 Корни исходного уравнения 2x 4 +5x 2 +4=0 t 1 =1, t 2 =-0,5 t 1 0, t 2 0 5 D 0 D x 4 -8x 2 + 16 =0 6 t 1 =-4, t 2 =-1 Кол-во решений биквадратного уравнения t 1 0, t 2 x 1 , 2 = ±1, x 3,4 =±3 x 4 +8x 2 +16=0 x 1,2 = ±1 нет корней t 1 4 D=0 ------ нет корней t=4 2 D=0 нет корней t=-4 t 0 0 0 x 1,2 = ±2 t нет корней 2 0 " width="640"

Таблица для исследования числа решений биквадратных уравнений

№

Уравнение

1

2

х 4 -10х 2 +9 =0

Знак дискриминанта ( D)

Корни нового уравнения t 1 и t 2

2x 4 -x-1=0

D 0

3

x 4 +5x+4=0

Знаки корней нового уравнения

t 1 =1, t 2 =9

4

D 0

Корни исходного уравнения

2x 4 +5x 2 +4=0

t 1 =1, t 2 =-0,5

t 1 0, t 2 0

5

D 0

D

x 4 -8x 2 + 16 =0

6

t 1 =-4, t 2 =-1

Кол-во решений биквадратного уравнения

t 1 0, t 2

x 1 , 2 = ±1, x 3,4 =±3

x 4 +8x 2 +16=0

x 1,2 = ±1

нет корней

t 1

4

D=0

------

нет корней

t=4

2

D=0

нет корней

t=-4

t 0

0

0

x 1,2 = ±2

t

нет корней

2

0

Домашнее задание

• с.65 №222,

• Провести исследование: может ли биквадратное уравнение иметь ровно 3 действительных корня?