Просмотр содержимого документа
«Презентация на тему: "Логарифмы". 11 класс»
ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОЙСТВА
Цели и задачи урока:
- рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;
- дать понятие десятичного и натурального логарифма;
- овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;
- развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
- продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию;
- научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;
- вычислять значения несложных логарифмических выражений.
Логарифм числа
Определение. Логарифм числа b пооснованию a называется показатель степени , в которую нужно возвести основание a , чтобы получить число b .
Например log 3 81 = 4, так как 3 4 = 81;
log 5 125 = 3, так как 5 3 = 125;
log 0,5 16 = -4, так как (0,5) -4 = 16;
, так как ==
0, a 0 и a ≠ 1) Согласно тождеству: =5; . " width="640"
Основное логарифмическое тождество
Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество :
( где b 0, a 0 и a ≠ 1)
Согласно тождеству:
=5; .
0 и a ≠ 1, эквиваленты. Переход от первого равенства ко второму называется логарифмированием , а переход от второго к первому – потенцированием . Например: логарифмируя равенство: ,получаем log 1/2 потенцируя равенство: log 2 8 = 3 , будем иметь 2 3 = 8 " width="640"
По определению соотношения y = a x и x = log a y при условии, что a 0 и a ≠ 1, эквиваленты. Переход от первого равенства ко второму называется логарифмированием , а переход от второго к первому – потенцированием .
Например:
,получаем log 1/2
log 2 8 = 3 , будем иметь 2 3 = 8
0 (a ≠ 1) и любых положительных x и y выполнены равенства: log a 1 = 0. log a a = 1. log a xy = log a x + log a y. log a = log a x - log a y. log a x p = p log a x для любого действительного p. " width="640"
Основные свойства логарифмов
При любом a 0 (a ≠ 1) и любых положительных x и y выполнены равенства:
- log a 1 = 0.
- log a a = 1.
- log a xy = log a x + log a y.
- log a = log a x - log a y.
- log a x p = p log a x
для любого действительного p.
Десятичный логарифм
Наиболее употребительными на практике являются десятичные логарифмы , когда в качестве основания берется число 10, и натуральный логарифм, когда в качестве основания берется число, e ≈ 2,7.
Десятичный логарифм числа b обозначается lgb
Натуральный логарифм обозначается lnb
Примеры вычисления десятичных логарифмов
- lg 1 = 0, так как 1 = 10 0
- lg 10 = 1 , так как 10 = 10 1
- lg 100 = 2, так как 100 = 10 2
- lg 0,1 = -1, так как 0,1 = 10 -1
- lg 0,01 = -2, так как 0,01 = 10 -2
- lg 0,001 = -3, так как 0,001 = 10 -3
0 и a ≠ 1, b 0 и b ≠ 1 . Прологарифмируем обе части равенства по основанию b 0 , b ≠ : log b x = log b ( a log a x ) по свойству логарифма степени получаем log b x = log b x × log b a log b x = Формула перехода к другому основанию " width="640"
Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию
По определению логарифма
x = a log a x , где x 0 и a ≠ 1, b 0 и b ≠ 1 .
Прологарифмируем обе части равенства по основанию b 0 , b ≠ :
log b x = log b ( a log a x )
по свойству логарифма степени получаем
log b x = log b x × log b a
log b x = Формула перехода к другому основанию
ЗАПОЛНИТЬ ПРОПУСКИ
- log 2 16 = 4 …, так как 2 … = 16.
- log 2 = …, так как 2 … = .
- log 2 1 = …, так как 2 … = 1.
- log √5 25 = …, так как (√5) … = 25.
- log … 16 = 4, так как … 4 = 16.
- log 2 … = 3, так как 2 3 = …
- log … = -5, так как … -5 = .
- 2 log2 5 = …
- log 3 = …
- 3 log3… = 8.
- 5 log…4 = 4.
- log 3… = -4, так как 3 -4 .