Россия, Касимов
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 20.06.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 06.05.2025 13:19
Шаранцова Лариса Александровна
Учитель математики
49 лет
5 238
10 046 
Местоположение
Специализация
Презентация на тему: Неравенства с модулем.
Категория:
Математика
16.06.2020 12:30
Просмотр содержимого документа
«Презентация на тему: Неравенства с модулем.»
Неравенства с модулями
11 класс презентация
0 равносильны двойному неравенству –a . Заметим, что если неравенство нестрогое |f(x) |≤ a , то при а=0 оно равносильно уравнению f(x)=0. Неравенства вида |f(x)| a при a ≤ 0 имеют решением всю область определения функции f(x) . При a 0 исходное неравенство равносильно двум неравенствам : f(x) a и f(x) , при этом решения обоих неравенств являются решениями исходного. Это справедливо и для нестрогих неравенств. " width="640"
Неравенства вида |f(x)| при a ≤ 0 решений не имеют, а при a 0 равносильны двойному неравенству –a . Заметим, что если неравенство нестрогое |f(x) |≤ a , то при а=0 оно равносильно уравнению f(x)=0.
Неравенства вида |f(x)| a при a ≤ 0 имеют решением всю область определения функции f(x) . При a 0 исходное неравенство равносильно двум неравенствам : f(x) a и f(x) , при этом решения обоих неравенств являются решениями исходного. Это справедливо и для нестрогих неравенств.
-3 Решение. Поскольку модуль всегда заведомо больше отрицательного числа, решением этого неравенства является область определения функции, стоящей под знаком модуля, т.е. любое рациональное число. Ответ : x (-∞;∞) " width="640"
Решить неравенство :
|3 - 8x 2 | -3
Решение.
Поскольку модуль всегда заведомо больше отрицательного числа, решением этого неравенства является область определения функции, стоящей под знаком модуля, т.е. любое рациональное число.
Ответ : x (-∞;∞)
Решить неравенство: |x 2 - 2x| ≤ 0
Решение.
Решением этого неравенства будут корни уравнения x 2 -2x=0 ,т.е. x 1 =0 и x 2 =2 .
Ответ : x ϵ {0} ᴜ {2}
Решить неравенство : |7x 2 + 8| ≤ -3
Решение.
Неравенство решений не имеет, так как модуль всегда положителен.
Ответ : x ϵ
![Решить неравенство : |x 2 - 7x| ≥ 12 Решение. Равносильные неравенства x 2 - 7x ≥ 12 и x 2 - 7x ≤ -12 сводятся к квадратным x 2 - 7x -12 ≥ 0 и x 2 - 7x + 12 ≤ 0 . Решаем первое неравенство. Корни уравнения :x 1 = и x 2 = ; решением этого неравенства будут два полубесконечных интервала : (-∞;] и [ ;∞) Решаем второе неравенство. Корни уравнения: x 1 = 3 и x 2 = 4 ; решением этого неравенства будет интервал: x Следовательно, решением исходного неравенства будут три интервала решений квадратных неравенств. Ответ : x](https://fsd.multiurok.ru/html/2020/06/16/s_5ee8912bce06c/img4.jpg)
Решить неравенство : |x 2 - 7x| ≥ 12
- Решение.
Равносильные неравенства x 2 - 7x ≥ 12 и x 2 - 7x ≤ -12 сводятся к квадратным x 2 - 7x -12 ≥ 0 и x 2 - 7x + 12 ≤ 0 .
Решаем первое неравенство.
Корни уравнения :x 1 = и x 2 = ; решением этого неравенства будут два полубесконечных интервала : (-∞;] и [ ;∞)
Решаем второе неравенство.
Корни уравнения: x 1 = 3 и x 2 = 4 ; решением этого неравенства будет интервал: x
Следовательно, решением исходного неравенства будут три интервала решений квадратных неравенств.
Ответ : x
![Решить неравенство : | ≤ 3 Решение. Данное неравенство равносильно двойному : -3 ≤ ≤ 3. ≥ 0 + 3 ≥ 0 ≥ -3 ≤ 3 ≤ 0 - 3 ≤ 0 (6x – 8)(x – 3) ≥ 0 ≥ 0 x ϵ ( -∞ ; ] ᴜ ( 3 ; ∞) x ≠ 3 x ϵ ( - ∞ ; 3 ) ≤ 0 x – 3 Ответ : x ϵ ( - ∞ ; )](https://fsd.multiurok.ru/html/2020/06/16/s_5ee8912bce06c/img5.jpg)
Решить неравенство : | ≤ 3
- Решение.
Данное неравенство равносильно двойному : -3 ≤ ≤ 3.
≥ 0
+ 3 ≥ 0
≥ -3
≤ 3
≤ 0
- 3 ≤ 0
(6x – 8)(x – 3) ≥ 0
≥ 0
x ϵ ( -∞ ; ] ᴜ ( 3 ; ∞)
x ≠ 3
x ϵ ( - ∞ ; 3 )
≤ 0
x – 3
Ответ : x ϵ ( - ∞ ; )
Неравенства вида |f(x)|≤ g(x) сводятся к равносильной системе:
- f(x) ≤ g(x) f(x) ≥ -g(x) ,
а неравенства вида |f(x)|≥ g(x) – к аналогичной равносильной системе:
f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ -g(x) .
3 - x сводится к решению двух равносильных неравенств : x 1 = 3 x 2 = 6 x ϵ ( 3 ; 6 ) x ϵ ( -∞ ; 3) ᴜ ( 4 ; ∞ ) x 2 - 9x + 18 x 2 - 7x + 12 0 6 3 x 1 = 3 x 2 = 4 4 3 Ответ : x ϵ ( 4 ; 6 ) " width="640"
Решить неравенство : |x 2 - 8x + 15|
Решение .
Равносильная система неравенств
x 2 - 8x + 15 x 2 - 8x + 15 3 - x
сводится к решению двух равносильных неравенств :
x 1 = 3 x 2 = 6
x ϵ ( 3 ; 6 ) x ϵ ( -∞ ; 3) ᴜ ( 4 ; ∞ )
x 2 - 9x + 18 x 2 - 7x + 12 0
6
3
x 1 = 3 x 2 = 4
4
3
Ответ : x ϵ ( 4 ; 6 )
3x - 3 Решение . Равносильная система неравенств x 2 – 2x – 3 3x – 3 x 2 – 2x – 3 как и в предыдущем примере, сводится к системе квадратных неравенств : x 1 = 0 x 2 = 5 x ϵ ( -∞ ; 0 ) ᴜ ( 5 ; ∞ ) x ϵ ( -3 ; 2 ) x 2 –5x 0 x 2 + x – 6 0 5 x 1 = -3 x 2 = 2 2 -3 Ответ : x ϵ ( -3 ; 0 ) " width="640"
Решить неравенство : |x 2 – 2x - 3| 3x - 3
Решение .
Равносильная система неравенств
x 2 – 2x – 3 3x – 3 x 2 – 2x – 3
как и в предыдущем примере, сводится к системе квадратных неравенств :
x 1 = 0 x 2 = 5
x ϵ ( -∞ ; 0 ) ᴜ ( 5 ; ∞ ) x ϵ ( -3 ; 2 )
x 2 –5x 0 x 2 + x – 6
0
5
x 1 = -3 x 2 = 2
2
-3
Ответ : x ϵ ( -3 ; 0 )
Неравенства вида F(|f(x)|) v 0 заменой y=|f(x)| сводятся к равносильной системе :
F(y) v 0 y ≥ 0
0 – рациональное. Решать его нужно методом интервалов для рациональных и дробно-рациональных неравенств, предварительно разложив левую часть на множители. Корень у=1 кубического трехчлена угадывается сразу. Поэтому, деля y 3 + y - 2 на у – 1 или применяя метод неопределенных коэффициентов с использованием теоремы Безу, разложим выражение на два сомножителя – линейный и квадратный. Решить неравенство : |x - 4| 3 + |x - 4| 2 Решение . Заменой y=|x - 4| исходное неравенство сводится к равносильной системе : y 3 + y 2 y ≥ 0 y - 1 y 2 + y + 2 y 3 + y – 2 y 3 – y 2 - y 2 + y y 2 – y - 2у – 2 2у – 2 - 0 " width="640"
Первое неравенство y 3 + y - 2 0 – рациональное. Решать его нужно методом интервалов для рациональных и дробно-рациональных неравенств, предварительно разложив левую часть на множители. Корень у=1 кубического трехчлена угадывается сразу. Поэтому, деля y 3 + y - 2 на у – 1 или применяя метод неопределенных коэффициентов с использованием теоремы Безу, разложим выражение на два сомножителя – линейный и квадратный.
Решить неравенство : |x - 4| 3 + |x - 4| 2
Решение .
Заменой y=|x - 4| исходное неравенство сводится к равносильной системе :
y 3 + y 2 y ≥ 0
y - 1 y 2 + y + 2
y 3 + y – 2 y 3 – y 2
-
y 2 + y y 2 – y
-
2у – 2 2у – 2
-
0
0 y≥0 , откуда у1 Переходя к переменной х, получаем простейшее неравенство |х - 4| 1 , которое разбивается на два равносильных : х – 4 1 , или х 5 , и х – 4 , или х . Таким образом, x ϵ ( -∞ ; 3) ᴜ ( 5; ∞ ) . Ответ : x ϵ ( -∞ ; 3) ᴜ ( 5 ; ∞ ) " width="640"
Таким образом,
y 3 + y – 2 = (у – 1)(y 2 + y + 2)
Итак, равносильная система приняла вид :
(у – 1)(y 2 + y + 2)0 y≥0 ,
откуда у1
Переходя к переменной х, получаем простейшее неравенство |х - 4| 1 , которое разбивается на два равносильных : х – 4 1 , или х 5 , и х – 4 , или х . Таким образом, x ϵ ( -∞ ; 3) ᴜ ( 5; ∞ ) .
Ответ : x ϵ ( -∞ ; 3) ᴜ ( 5 ; ∞ )
- Неравенства вида F ( ϕ (x) ; | f(x) | ) v 0 сводятся к двум равносильным системам :
f(x) ≥ 0 F( ϕ (x) ; f(x)) v 0
f(x) 0 F( ϕ (x) ; -f(x)) v 0
![Решить неравенство : x 2 + 2|x + 3| - 10 ≤ 0 Решение . Равносильные системы : x ≥ -3 x 1 = -1 + x 2 = -1 - x ≥ -3 x 2 + 2x – 4 ≤ 0 x + 3 ≥ 0 x 2 + 2(x + 3) – 10 ≤ 0 x ϵ [-3 ; -1 + и x x 1 = 1 + x 2 = 1 - x + 3 x 2 - 2(x + 3) – 10 ≤ 0 x x 2 - 2x – 16 ≤ 0 x ϵ [1 - ; -1 + ] Ответ : x ϵ [ 1 - ; -1 + ]](https://fsd.multiurok.ru/html/2020/06/16/s_5ee8912bce06c/img13.jpg)
Решить неравенство : x 2 + 2|x + 3| - 10 ≤ 0
Решение .
Равносильные системы :
x ≥ -3 x 1 = -1 + x 2 = -1 -
x ≥ -3 x 2 + 2x – 4 ≤ 0
x + 3 ≥ 0 x 2 + 2(x + 3) – 10 ≤ 0
x ϵ [-3 ; -1 +
и
x x 1 = 1 + x 2 = 1 -
x + 3 x 2 - 2(x + 3) – 10 ≤ 0
x x 2 - 2x – 16 ≤ 0
x ϵ [1 - ; -1 + ]
Ответ : x ϵ [ 1 - ; -1 + ]
|g(x)| , как и соответствующие уравнения, сводятся к равносильному [ f(x) ] 2 [ g(x) ] 2 . " width="640"
Неравенства вида |f(x)||g(x)| , как и соответствующие уравнения, сводятся к равносильному [ f(x) ] 2 [ g(x) ] 2 .
![Решить неравенство : |2x - 5| - |4x + 7|≥ 0 Решение . Приводим исходное неравенство к виду |2x - 5| ≥ |4x + 7| и возводим в квадрат : (2x – 5) 2 ≥ (4x + 7) 2 Решением неравенства является интервал [ -6 ; - ] , он же – решением исходного неравенства с модулями. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем квадратное неравенство : 3x 2 + 19x + 6 ≤ 0 x 1 = - 6 x 2 = - 3x 2 + 19x + 6 = 0 Ответ : x ϵ [ -6 ; - ]](https://fsd.multiurok.ru/html/2020/06/16/s_5ee8912bce06c/img15.jpg)
Решить неравенство : |2x - 5| - |4x + 7|≥ 0
Решение .
Приводим исходное неравенство к виду
|2x - 5| ≥ |4x + 7|
и возводим в квадрат :
(2x – 5) 2 ≥ (4x + 7) 2
Решением неравенства является интервал [ -6 ; - ] , он же – решением исходного неравенства с модулями.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем квадратное неравенство :
3x 2 + 19x + 6 ≤ 0
x 1 = - 6 x 2 = -
3x 2 + 19x + 6 = 0
Ответ : x ϵ [ -6 ; - ]
Не следует путать этот метод с методом интервалов, применяемым для решения рациональных и дробно-рациональных неравенств.
Внимание!
Неравенства вида |f 1 (x)|±|f 2 (x)|±…±|f n (x)| v a решаются тем же самым методом интервалов, что и уравнения с модулем. Разница лишь в том, что в данном случае в каждом интервале решается не уравнение, а неравенство и из решений неравенства выбираются те, которые принадлежат данному интервалу. В остальном метод интервалов остается тем же, что и при решении уравнений с модулем.
0 x x + 1 0 x + 2 0 x0 x + 1 0 x + 2 0 Раскроем модули на интервале I (x≤-2) : -x + 2( + 1) – 3(x + 2) ≥ 4 После преобразования получаем -2х – 4 ≥ 4 , откуда х ≤ -4 " width="640"
Решить неравенство : |x|- 2|x + 1|+ 3|x + 2|≥ 4
Решение .
Найдем сначала все x i , разбивающие числовую ось на интервалы и получающиеся как решения уравнений f j (x i )=0 : х=0; х + 1=0 ; х + 2=0 . Таким образом, границами интервалов являются числа x 1 =0, x 2 =-1 и x 3 =-2. Отметим эти значения на числовой оси для каждого из полученных интервалов определим знаки выражений, стоящих под знаком модуля :
III
IV
II
I
-2
-1
0
x x + 1 x + 2
x x + 1 x + 2 0
x x + 1 0 x + 2 0
x0 x + 1 0 x + 2 0
Раскроем модули на интервале I (x≤-2) :
-x + 2( + 1) – 3(x + 2) ≥ 4
После преобразования получаем
-2х – 4 ≥ 4 ,
откуда х ≤ -4
![Этот интервал входит в интервал I и является решением исходного неравенства. II интервал ( -2≤ х ≤-1 ) : -х+ 2(х + 1) + 3(х + 2) ≥ 4 4х + 8 ≥ 4 , откуда х≥-1 Решением в этом интервале является точка х=-1 III интервал ( -1≤ х ≤0 ) : -х – 2(х + 1) + 3(х + 2) ≥ 4 4 ≥ 4 В результате мы получили истинное неравенство ( заметим, что, если бы неравенство было строгим, оно становилось бы ложным). Следовательно, весь интервал III является решением исходного неравенства. IV интервал ( х≥0 ) х – 2(х + 1) + 3( + 2) ≥ 4 2х + 4 ≥ 4 , откуда х≥0 Таким образом, весь интервал IV является решением исходного неравенства. Заметим, что решения, полученные в интервалах II , III и IV , «сливаются» по граничным точкам x 1 =-1 и x 2 =0 в единый интервал [-1 ; ∞). Ответ : ( -∞ ; -4 ] ᴜ [ -1 ; ∞ )](https://fsd.multiurok.ru/html/2020/06/16/s_5ee8912bce06c/img18.jpg)
Этот интервал входит в интервал I и является решением исходного неравенства.
II интервал ( -2≤ х ≤-1 ) :
-х+ 2(х + 1) + 3(х + 2) ≥ 4
4х + 8 ≥ 4 ,
откуда х≥-1
Решением в этом интервале является точка х=-1
III интервал ( -1≤ х ≤0 ) :
-х – 2(х + 1) + 3(х + 2) ≥ 4
4 ≥ 4
В результате мы получили истинное неравенство ( заметим, что, если бы неравенство было строгим, оно становилось бы ложным). Следовательно, весь интервал III является решением исходного неравенства.
IV интервал ( х≥0 )
х – 2(х + 1) + 3( + 2) ≥ 4
2х + 4 ≥ 4 ,
откуда х≥0
Таким образом, весь интервал IV является решением исходного неравенства. Заметим, что решения, полученные в интервалах II , III и IV , «сливаются» по граничным точкам x 1 =-1 и x 2 =0 в единый интервал [-1 ; ∞).
Ответ : ( -∞ ; -4 ] ᴜ [ -1 ; ∞ )
© 2020, Шаранцова Лариса Александровна 1082 25
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
