Презентация на тему " Производная на ЕГЭ"

Производная на ЕГЭ

Основные типы задач

1)Значения производной в некоторой точке;

2)Точек максимума или минимума;

3)Интервалов возрастания и убывания функции;

4)Наибольших и наименьших значений на заданном промежутке;

5)Точек, в которых касательная будет параллельна заданному уравнению прямой.

Задача 1

• На рисунке изображен график функции  y  =  f ( x ), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой  y  = 6 или совпадает с ней

Решение

• Решение. Касательная параллельна прямой  y  = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. У данной функции производная равна нулю только в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой  y  = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

Задача 2

• На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X 0  . Найдите значение производной функции f(x) в точке X 0

Решение

Решение . Рассмотрим точки

A (0; 3) и B (3; 0),

найдем приращения: Δx = X 2  – X 1 = 3 − 0 = 3;

Δy =y 2  – y 1   = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной:

k = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Сопоставление графика функции и графика производной

Функция возрастает на промежутке

Функция убывает на промежутке

Задача 3

• На рисунке изображен график функции  y  =  f ( x ), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение

• Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

Спасибо за внимание!