Презентация к теме "Производная"

ПРОИЗВОДНАЯ

МОУ Среднесантимирская СОШ

Выполнена учителем математики

Сингатулловой Г.Ш.

• Определение производной.
• Физический смысл производной.
• Геометрический смысл производной .

• Основные правила дифференцирования.
• Производные основных элементарных функций.
• Производная сложной функции.
• Примеры решения задач по теме производная.

Определение производной

Пусть на некотором интервале (a, b) определена функция y= f(x). Возьмем любую точку x 0 из этого интервала и зададим аргументу x в точке x 0 произвольное приращение ∆ x такое, что точка x 0 + ∆ x принадлежит этому интервалу. Функция получит приращение

Производной функции y= f(x) в точке x =x 0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению аргумента ∆x , при стремлении приращения аргумента к нулю.

Геометрический смысл производной

P

y

Пусть функция y= f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

M

o

o

X

Где  - угол наклона касательной функции f(x) в точке (x 0 , f(x 0 )).

͢͢

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

β

α

Уравнение касательной к кривой:

Физический смысл производной 1. Задача об определении скорости движения материальной частицы

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t 0 .

К моменту времени t 0 пройденный путь равен s 0 = s(t 0 ), а к моменту (t 0 + ∆t) – путь s 0 + ∆s=s(t 0 +∆t).

Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет

Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t 0 . Поэтому под скоростью точки в момент t 0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t 0 до t 0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е.

дальше

2. ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ

Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения

- скорость химической реакции в данный момент

времени t.

3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Если m- масса радиоактивного вещества и t- время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).

Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением

а мгновенная скорость распада в момент времени t

.

АЛГОРИТМ вычисления производной

Производная функции y= f(x) может быть найдена по следующей схеме:

1. Дадим аргументу x приращение ∆x≠0 и найдем наращенное значение функции y+∆y= f(x+∆x).

2. Находим приращение функции ∆y= f(x+∆x) - f(x).

3. Составляем отношение

4. Находим предел этого отношения при ∆x⇾0, т.е.

( если этот предел существует).

Основные правила дифференцирования

Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции в точке x.

1) (u  v)  = u   v 

2) (uv)  = u  v +uv 

(cu)  = cu 

3) , если v  0

Производные основных элементарных функций

Производная сложной функции

Теорема. Если функция дифференцируема в точке x, а функция

дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке x, причем:

т.е. производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.

Задача 1.

Решение

Дальше

11

Решение

Дальше

Назад

Задача 2 .

Решение

Дальше

Решение:

.

Назад

Дальше

Задача 3 .

Решение

Дальше

Решение

Назад

Дальше

Задача 4 .

Решение

Дальше

Решение:

Назад

Дальше

Задача 5 .

Решение

Дальше

Решение:

Назад

Дальше

Задача 6 .

Решение

Дальше

Назад

Дальше

Задача 7 .

Решение

Дальше

Назад

Дальше

Задача 8 .

Решение

Дальше

Назад

Дальше

Задача 9 .

Решение

Дальше

Назад

Дальше

ЗАДАЧА 10

ЗАДАЧА 11

Задача 12

Задача 13

Задача14

К началу