Презентация на тему "Теоремы Чевы и Менелая"

Геометрия 10 класс (профильный уровень)

Изучение нового материала

Теорема Менелая

Менелай Александрийский – древнегреческий математик ( I в.н.э.)

Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С 1 , А 1 , В 1 , не совпадающие с его вершинами, причем .

Тогда если точки С 1 , А 1 , В 1 лежат на одной прямой, то р qr=-1 ; обратно: если р qr=-1 , то точки С 1 , А 1 , В 1 лежат на одной прямой.

В

С1

А 1

А

С

В 1

Пусть точка А 1 лежит на стороне ВС треугольника АВС, точка С 1 – на стороне АВ, точка В 1 – на продолжении стороны АС за точку С. Тогда точки А 1 , В 1 и С 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Изучение нового материала

В

Теорема Чевы

(Джованни Чева - итальянский математик 1678г)

Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С 1 , А 1 , В 1 , не совпадающие с его вершинами, причем

Тогда если прямые АА 1 , ВВ 1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то

р qr=1 ; обратно: если р qr=1 , то прямые АА 1 , ВВ 1, СС 1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны.

А 1

С 1

А

С

В 1

Пусть точка в треугольнике АВС точка А 1 лежит на стороне ВС, точка В 1 – на стороне АС, точка С 1 – на стороне АВ. Отрезки АА 1 , ВВ 1, СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Решение задач

№ 1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC=3BN ; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F . Найдите отношение .

Решение задач

№ 2 . В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А 1 и С 1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1 . Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1 . Найдите АР : РА 1 .

Решение:

• Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В 1 , так как треугольник АВС – разносторонний.
• Пусть С 1 В = х, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения 8 – х + 5 – х = 4, х =4,5.
• Значит, С 1 В = ВА 1 = 4,5, А 1 С = 5 – 4,5= 0,5 АС 1 = 8 – 4,5=3,5 .
• В треугольнике АВА 1 прямая С 1 С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая …

Ответ: 70 : 9.

Решение задач

№ 2. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ=13, ВС=12, АС=9,

А 1 и С 1 – точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ.

N – точка пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 . Точка N лежит на высоте ВВ 1 . Найдите отношение BN:NB 1 .

.

Домашнее задание

пп.95,96

Задачи.

• В треугольнике АВС А D – медиана, точка О– середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? ( Примечание. Рассмотрите треугольник А DC )
• Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.