Просмотр содержимого документа
«ПРЕЗЕНТАЦИЯ по дисциплине : «Математика» на тему: «Теория пределов»»
МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПМР «ДНЕСТРОВСКИЙ ТЕХНИКУМ ЭНЕРГЕТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»
ПРЕЗЕНТАЦИЯ по дисциплине : « Математика » на тему: « Теория пределов »
Разработал преподаватель математики
ГОУ СПО «ДТЭ и КТ»
Демьянова Светлана Васильевна
г. Днестровск , 2019 г.
Числовая последовательность
1 2 3 4 … n …
-аргумент
2 4 8 16 … 2 ⁿ…
-члены последовательности
а 1 а 2 а 3 а 4 … а n …
: 1/2, 1/3, 1/4, ….
Теорема о связи между функцией и ее пределом
Если функция при х →х 0 имеет конечный предел, равный А , то разность между функцией и значением ее предела бесконечно мала при х →х 0 :
Предел числовой последовательности
a 2
a 4
a 3
a 1
1 /2
1
1 /3
1 /4
0
Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций
- бесконечно малая при
и
Если
в некоторой окрестности точки х 0 , то
функция
является бесконечно большой при
Если
- бесконечно большая при
является бесконечно малой при
то функция
Предел функции
- Предел функции в точке (по Гейне)
у
у=х+1
3
2
1
0
1
2
3
х
= А
- Предел функции в точке (по Коши)
- справа
у
- слева
1
х
-1
Бесконечные пределы
у
А
y=f(x)
х
у
А
y=f(x)
х
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- бесконечно малая при
, если
- бесконечно большая при
, если
у
y=x²
х
0
Свойства бесконечно больших функций
Свойства бесконечно малых функций
Сравнение бесконечно малых функций
Пусть α (х) и β (х) – бесконечно малые при х→х 0 функции и
- А ≠ 0, А ≠ 1: α и β – бесконечно малые одинакового порядка;
- А=0: α – более высокого порядка малости,
- А= ±∞ : β – более высокого порядка малости;
- А=1: α и β – эквивалентные бесконечно малые, α ~ β .
Свойства эквивалентных бесконечно малых
1. α ~ β ↔ β ~ α (рефлексивность)
2. α ~ β , β ~ γ ↔ α ~ γ (транзитивность)
3. α ~ β → α = β +o( α ) ( эквивалентные бесконечно малые отличаются друг от друга на бесконечно малую высшего порядка ).
4. Под знаком предела в отношении или произведении бесконечно малые можно заменять эквивалентными.
Основные теоремы о пределах
- О пределе постоянной.
- О единственности предела.
Необходимые условия существования конечного предела :
3. О локальной ограниченности.
4. О локальном повторении функцией свойств предела.
Достаточные условия существования конечного предела :
5. Об арифметике.
6. О промежуточной функции.
7. О пределе монотонной ограниченной функции.
Техника вычисления пределов
Найти пределы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
9.
.
, при условии
Пример: