Презентация по геометрии Тела вращения (11 класс)

Задачи по стереометрии

(тела вращения)

Содержание:

Часть l :

Тела вращения.

Часть ll :

Комбинации тел вращения.

Часть l

Тела вращения

Тела вращения

Исторические сведения.

Понятие о телах вращения

Цилиндр.

Конус.

Шар.

Проверь себя ( теоретические сведения).

Решение устных задач (ответы);

Задачи для самостоятельного решения,(подсказки, ответы).

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

• στερεοζ

• μετρεμ

• пространственный

• измерять

Исторические сведения

Стереометрия возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека.

Она зародилась в древнем Египте около 2000 лет до н. э., а оттуда перешла в Грецию.

Тела вращения

Фигура вращения получается в результате вращения плоской фигуры вокруг какой - нибудь оси, лежащей в той же плоскости.

Тела вращения:

Цилиндр

Конус

Шар ,(сфера)

ЦИЛИНДР ( прямой круговой )

Тело, образованное вращением прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.

КОНУС ( прямой круговой )

Тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет.

ШАР

Тело, образованное вращением полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр.

Дополнительные сведения

Шар радиуса R с центром в точке О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии не больше чем R (включая точку О), и не содержит других точек.

О

сфера

Сфера

Радиус сферы

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.

R

О

Центр сферы

Дополнительные сведения

Дополнительные сведения

Отрезок,соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется её диаметром.

Диаметр сферы равен двум радиусам: D=2R.

О

А

•

В

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

Что изучает стереометрия?

Подсказка

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Что означает термин «стереометрия»?

подсказка

Στερεοζ – пространственный

Μετρεμ - измерять

Какие фигуры в пространстве называются фигурами вращения?

подсказка

Фигура вращения получается в результате вращения плоской фигуры вокруг какой - нибудь оси, лежащей в той же плоскости.

Приведите примеры фигур вращения.

Какая фигура получается при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону?

Какая фигура получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет?

Какая фигура получается при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр?

Чем отличается шар от сферы?

h-высота

Справочные сведения

ЦИЛИНДР

S бок . = 2 πR • h

образующая

R

S цил. = 2 π R • (R+ h)

Основание цилиндра

V цил. = πR 2 • h

V цил. = S • h

ось цилиндра

УСТНЫЕ ЗАДАЧИ

( ЦИЛИНДР И ЕГО СВОЙСТВА)

1)Радиус основания цилиндра 2м.,высота 3м.Найти диагональ осевого сечения.

h=3м.

R=2м.

.

О 1

ответ

Подсказка

?

3м.

4м.

ОТВЕТ:

Задача 1): 5м .

2)Осевое сечение цилиндра –квадрат, площадь которого S.Найдите площадь основания.

S кв. = S

ответ

подсказка

r

О

S кв. = S

.

S осн. = S кр. = πr 2

ОТВЕТ:

Задача 2 ): π • S/ 4.

h=6см.

3)Высота цилиндра 6см.,радиус основания 5см. Найти площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см.от неё.

О

О 1

R=5см.

Ответ

h=6см.

5см .

Подсказка

S сеч.= h • СD

А

С

4см .

N

О

D

С

D

В

ОТВЕТ:

Задача 3): 36 см 2 .

Справочные сведения

КОНУС

Ось конуса

о

S бок. = πRL

вершина

L - образующая

R-радиус

S кон. = πR • ( L+ R)

о 1

А

В

V кон . = 1/3 • S осн. • h

Основание конуса

V кон . = 1/3 • π R 2 h

УСТНЫЕ ЗАДАЧИ

КОНУС

1)Радиус основания конуса 3м., высота 4м.Найти образующую?

h=4м

R=3м.

ответ

h=4м

Подсказка

о

?

В

А

о 1

R=3м.

Ответ: 5м .

2)Образующая конуса L наклонена к плоскости основания под углом в 30 0 . Найти высоту.

ответ

Подсказка

о

L

?

30 0

о 1

В

Ответ: ½ • L .

3)Радиус основания конуса R.Осевым сечением служит прямоугольный треугольник. Найти его площадь.

ответ

Подсказка

о

о 1

А

R

В

R 2

Ответ:

Справочные сведения

ШАР

•

А

ОА- радиус

о

S = 4 πR 2

Ось вращения шара

V = 4 /3 • πR 3

УСТНЫЕ ЗАДАЧИ

( ШАР И ЕГО СВОЙСТВА)

1) Радиус шара 1м. Найдите объём шара.

R=1 м.

ответ

Подсказка

V = 4 /3 • πR 3

R =1м.

О

Ответ: 4/3 • π ≈ 4,2 м 3 .

2)Во сколько раз увеличится объём шара, если радиус его увеличить в 3 раза?

ответ

Подсказка

V = 4 /3 • πR 3

R 1

R

R 1 =3R

Ответ: в 27 раз.

Решение более сложных задач.

Задача 1: Высота и образующая конуса относятся как 35:37. Полная поверхность конуса равна 588 π. Найти объём конуса.

решение

ответ

А

Дано: конус h:l=35:37 S кон. =588 π Найти: V кон .

l

h

Решение:

В

С

R

О

1.Обозначим одну часть за х , тогда образующая l = 37х , а высота h = 35х. Рассм . ∆АОВ :

L АОВ=90 0 , АО=h, АВ=l , ОВ=R.

Найдём радиус ОВ:

ОВ 2 = АВ 2 - АО 2 , значит

ОВ = √(37х) 2 -( 35х) 2 = 12х ;

___________

2.Теперь найдём Sкон. т.е. полную поверхность конуса (через х):

Sкон. = S осн . + Sбок.

Sкон. = π R 2 + π R l

Sкон. = π(144х 2 +444х 2 )

588π = 588πх 2

х=1.

А

С

В

О

3. т.к. R=ОВ=12х ,

то R = 12; а т.к. h = АО = 35х , то h = 35.

4. Найдём объём конуса:

V = ⅓ * π R 2 * h

V = ⅓ * π * 144 * 35= 1680 π .

Ответ: 1680 π .

А

В

С

О

Ответ: 1680 π .

Задачи для самостоятельного решения.

Задача :

Конусообразная палатка высотой в 3,5 м. с диаметром основания в 4м. покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?

ответ

Подсказка

S бок . = π RL

D=2R

о

L

о 1

R

А

R

В

Ответ: ≈ 25,3м 2 .

Задача :

Боковая поверхность конуса 12 см 2 ., расстояние от центра основания конуса до образующей 4см. Определить объём конуса.

ответ

Подсказка

4см.

Vкон. = 1/3 • πR 2 h

А

Sбок. = πRL

∆ АОВ ~ ∆ АСО

Пропорция:

l

h

АО

АС

___

___

или

=

В

ОВ

СО

С

h

D

l

___

___

R

=

О

R .

4

Ответ: 16см 3

Задача:

Боковая поверхность цилиндра будучи развёрнута, представляет собой прямоугольник. В котором диагональ равна в и составляет угол φ с основанием. Найти объём цилиндра?

ответ

Подсказка

Из прямоугольного ∆ АВD :

Н = АВ = ВDsin φ= в sin φ,

АD = ВDcos φ= в cos φ.

но, сторона АD равна длине окружности основания,

т.е. 2 πR = в cos φ,

отсюда найдём R .

С

В

в

H

φ

А

D

Ответ:

в 3

____

cos 2 φ

sin φ

V =

4 π

Задача:

Шар пересечён плоскостью, перпендикулярной его радиусу и отстоящей от его центра на 9 см. Площадь сечения равна 144 π см 2 .

Найти объём шара и площадь сферы.

ответ

х

Подсказка

Пусть ОВ = х – радиус сферы.

В ∆ ОАВ :

АВ 2 = ОВ 2 - ОА 2 = х 2 - 81 .

По условию: π R 2 =144 π,

значит:

π (х 2 – 81) = 144 π и т. д.

А

В

С

О

Ответ:

V = 4500 π см 3 ;

S = 900 π см 2 .

Задача:

Определить площадь полной поверхности и объём цилиндра,осевое сечение которого есть квадрат и боковая поверхность равна S.

ответ

подсказка

O 1

По условию задачи:

S = 2πRH,

но H = 2R ,

поэтому:

S = 2πR • 2R = 4 πR 2 ,

Значит:

H

R

O

_____

√

S

S

__

1

___

___

R =

R 2 =

π

4π ,

2

Ответ:

S полн.

3

___

S

=

2

_____

S

S

√

___

___

V

=

π

4

Задача:

Доказать ,что объём конуса равен 1/3 произведения боковой поверхности на расстояние от центра основания до образующей.

Задача:

Даны шар, цилиндр с квадратным осевым сечением и конус.Цилиндр и конус имеют одинаковые основания, а их высоты равны диаметру шара.Как относятся объёмы цилиндра, шара и конуса?

ответ

Ответ: V ц. :V ш. :V к. = 3:2:1

Задача:

Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а . Найти поверхность и объём тела вращения.

а

подсказка

ответ

Подсказка

А

При вращении получается два конуса с радиусом основания ОВ.

Поверхность тела вращения – это две одинаковые боковые поверхности указанного конуса.

В

D

.

О

С

__

√ 3 .

Ответ:

π а 2

S

=

π а 3

____

V =

4

Задача:

Равнобедренняй треугольник вращается вокруг своей высоты. Определить стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см. , а полная поверхность тела вращения равна 60 π см 2 .

подсказка

ответ

Подсказка

А

При вращении этого треугольника вокруг высоты АС лучается конус.

D

С

В

Ответ: 11см., 11см., 8 см.

Часть ll

Комбинации тел вращения.

Комбинация тел вращения

Основные понятия о комбинации тел вращения:

Комбинация цилиндра и конуса;

Комбинация цилиндра и шара;

Комбинация конуса и шара.

Проверь себя (теоретические сведения).

Задачи для самостоятельного решения, (ответы).

Комбинация цилиндра и конуса

Цилиндр называется вписанным в конус , если окружность одного из его оснований лежит на поверхности конуса, а другое основание расположено в плоскости основания конуса.

Комбинация цилиндра и конуса

Конус называется вписанным в цилиндр , если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина конуса лежит в центре другого основания цилиндра.

Комбинация цилиндра и шара

Шар называется вписанным в цилиндр , если основания и каждая образующая цилиндра касаются шара. В этом случае цилиндр называют описанным около шара.

Дополнительные сведения

Дополнительные сведения

Ось цилиндра

Центр шара лежит на оси цилиндра, осевое сечение цилиндра представляет собой квадрат со стороной, равной диаметру шара.

О

•

Комбинация цилиндра и шара

Шар называется описанным около цилиндра , если основаниями цилиндра служат сечения шара. В этом случае цилиндр называют вписанным в шар.

дополнительные сведения

}

}

Дополнительные сведения

Ось цилиндра

Центром описанного около цилиндра, шара является середина оси цилиндра-отрезка, соединяющего центры его оснований.

R

О

Комбинация конуса и шара

Шар называется вписанным в конус , если основание и каждая образующая конуса касаются шара.В этом случае конус называется описанным около шара.

дополнительные сведения

Дополнительные сведения

Шар касается боковой поверхности конуса по окружности, плоскость которой параллельна основанию.

Дополнительные сведения

Дополнительные сведения

Центр шара, вписанного в конус,лежит в точке пересечения высоты конуса и биссектрисы угла наклона образующей конуса к плоскости его основания.

О

Комбинация конуса и шара

Шар называется описанным около конуса , если окружность основания и вершина, принадлежат поверхности конуса. В этом случае конус называют вписанным в шар.

дополнительные сведения

Дополнительные сведения

В

Центром шара, описанного около конуса, является точка пересечения высоты конуса с перпендикуляром к образующей, проведённым через её середину в плоскости осевого сечения конуса.

К

О

С

А

О 1

Проверь себя

Введите понятие «цилиндр вписан в конус» и «конус вписан в цилиндр».

Введите понятие «конус вписан в шар» и «конус описан около шара».

Как расположены точки общие для шара и поверхности конуса?

Где расположен центр шара относительно вписанного конуса,что представляет осевое сечение данной комбинации фигур?

Где находится центр шара, вписанного в конус?

Подсказка

Центр шара, вписанного в конус,лежит в точке пересечения высоты конуса и биссектрисы угла наклона образующей конуса к плоскости его основания.

О

Укажите пары подобных треугольников и в них пары углов, имеющие равные величины?

В

К

О

А

С

О 1

Во всякий ли цилиндр можно вписать сферу? Какими свойствами должен обладать цилиндр, чтобы в него можно было вписать сферу?

подсказка

Нет не во всякий: осевое сечение цилиндра должно быть квадратом.

Во всякий ли конус можно вписать сферу? Как определить положеное центра сферы, вписанной в конус?

подсказка

Да, во всякий.Центр вписанной сферы находится на пересечении высоты конуса и биссектрисы угла наклона образующей к плоскости основания.

По известному радиусу основания конуса R и его высоте h найдите радиус вписанной сферы.

подсказка

Подсказка:

Искомый радиус : r = R·tg φ , где φ - половина угла наклона образующей конуса к плоскости основания, причём tg 2φ = h:R .

Задачи для самостоятельного решения.

Задача:

В конусе высотой 12см. вписан шар радиуса 3см. Вычислить объём конуса.

ответ

Ответ : 72 π см 3 .

Задача:

В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса.Найти угол между осью конуса и его образующей, зная, что полная поверхность цилиндра относится к площади основания конуса как 3:2.

ответ

подсказка

}

}

R

_________

Пусть:

R - радиус основания конуса, r- радиус основания цилиндра,

β - искомый угол.

По условию ОВ=ОD=R.

С

β

r

D

F

S полн. цил.

3

Е

______

___

=

S осн. кон.

2

Тогда по условию задачи:

β

)

(

r

3

r 2

__

___

____

2 πR 2 + 2 πRr

__________

+

2

=

=

К

В

2

А

О

R 2

R

πR 2

R

Из ∆ ЕКВ : tg β = КВ:КЕ = (R - r ) : R = 1- (r : R),

____

подставим и решим уравнение второй степени.

r

= 1 – tgβ ,

R

Ответ : β = arctg

1

__

2

Задача:

Доказать ,что отношение объёма конуса к объёму вписанного в него шара равно отношению площади полной поверхности конуса к площади шоверхности шара.

Задача

Определить боковую поверхность конуса, зная длину радиуса R , описанного вокруг него шара и угол β , под которым из центра видна образующая конуса.

ответ

Подсказка

В

∆ АОВ - равнобедренный т.к. АО=ОВ=R.

Проведём ОМ – высоту.

Тогда ВМ= ½ • ВА= ½ ·L,

L ВОМ = ½ • β ,

Из ∆ ВОМ найдём ВМ:

ВМ = ОВ· sin β / 2 , т. е.

½ ·L = R· sin β / 2 ,

L=2 R· sin β / 2 .

М

β

О

С

А

О 1

Ответ: S бок. = 2π R 2 sin β · sin β / 2

Желаем удачи!