Презентация по теме: " Функция. Свойства функции"

Наибольшее (наименьшее) значения функции

• Число m называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве D(f) , если:

• в области определения существует такая точка хо , что f( хо ) = m ;
• для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f( хо ) .

Обозначение: У наим. = у(хо) = m .

• Число M называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве D(f) , если:

• в области определения существует такая точка хо , что f( хо ) = M ;
• для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f( хо ) .

Обозначение : у наиб. = у(хо) = M .

у

у

M

х о

О

О

х

х о

х

m

• Если у функции существует У наиб . , то она ограничена сверху .
• Если функция не ограничена сверху , то У наиб. не существует .

• Если у функции существует У наим , то она ограничена снизу .
• Если функция не ограничена снизу , то У наим. не существует.

8

Выпуклость, вогнутость функции

• Функция выпукла вверх , если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

• Функция выпукла вниз , если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

у

у

О

О

x

x

9

Четность, нечетность функции

Функция у = f (х) называют

нечетной , если:

• Область определения ее симметрична относительно оси ОУ;
• Для любого х из D (у) выполняется равенство f (- x) = - f(x) .

Функция у = f (х) называют четной , если:

• Область определения ее симметрична относительно начала координат;
• Для любого х из D (у) выполняется равенство f (- x) = f(x) .

у

у

О

x

О

x

График симметричен относительно оси ОУ.

График симметричен относительно начала координат .

10

Алгоритм исследования функции

• Область определения.
• Область значений.
• Четность, нечетность функции.
• Возрастание, убывание функции.
• Ограниченность функции.
• Наибольшее, наименьшее значения функции.
• Непрерывность функции.
• Выпуклость, вогнутость функции .

10

0 1. D ( f ) = R ; 2. Не является ни четной ни нечетной; 3. Если k 0 , возрастает, если k 4. Не ограничена ни снизу, ни сверху; 5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 6. Функция непрерывна; 7. 8. Не имеет выпуклости. m О х у K m О х 12 " width="640"

У = kx + m

У = kx + m

Линейная функция

у

K 0

1. D ( f ) = R ;

2. Не является ни четной ни нечетной;

3. Если k 0 , возрастает,

если k

4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;

5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения;

6. Функция непрерывна;

7.

8. Не имеет выпуклости.

m

О

х

у

K

m

О

х

12

0 1. 2. Нечетная функция; 3. Если k 0 , то функция убывает на D(f) , если k 4. Не ограничена ни сверху, ни снизу; 5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; 6. Функция терпит разрыв в точке х = 0; 7. 8. Если k 0 , то функция выпукла вверх при х и выпукла вниз при х 0 ; Если k 0, и выпукла вниз при х О x у K О х 13 " width="640"

Функция

у

K 0

1.

2. Нечетная функция;

3. Если k 0 , то функция убывает на D(f) ,

если k

4. Не ограничена ни сверху, ни снизу;

5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;

6. Функция терпит разрыв в точке х = 0;

7.

8. Если k 0 , то функция выпукла вверх при х

и выпукла вниз при х 0 ;

Если k 0,

и выпукла вниз при х

О

x

у

K

О

х

13

Функция

1. D ( f ) = [0 ; + ∞) ;

2. Не является ни четной ни нечетной;

3. Возрастает;

4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;

5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение 0, при х = 0;

6. Функция непрерывна;

7. Е( f ) = [0 ; + ∞)

8. Выпукла вверх.

у

х

О

14

Функция

1. D ( f ) = R ;

2. Функция четная;

3. Возрастает на [ 0; + ∞) ;

убывает ( - ∞ ; 0 ]

4. Не ограничена сверху,

ограничена снизу;

5. Наибольшего значения нет,

наименьшее значение 0, при х = 0;

6. Функция непрерывна;

7. Е( f ) = [0 ; + ∞)

8. Выпукла вниз.

у

О

х

15

0 a х О 16 " width="640"

Функция

1. D ( f ) = R ;

2. Функция четная;

3. Возрастает на [ 0; + ∞) ; убывает ( - ∞ ; 0 ]

4. Не ограничена сверху, ограничена снизу;

5. Наибольшего значения нет,

наименьшее значение 0, при х = 0;

6. Функция непрерывна;

7. Е( f ) = [0 ; + ∞)

8. Выпукла вниз .

1. D ( f ) = R ;

2. Функция четная;

3. Убывает на [ 0; + ∞) ; возрастает ( - ∞ ; 0 ]

4. Не ограничена снизу, ограничена сверху;

5. Наименьшего значения нет,

наибольшее значение 0, при х = 0;

6. Функция непрерывна;

7. Е( f ) = ( - ∞ ; 0 ] ;

8. Выпукла вверх.

у

у

у

О

х

a 0

a

х

О

16

Исследуйте функцию по графику

16