Презентация по теме "Моделирование"

Назад

Построение формальной модели движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Задача: в процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенно место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в мишень определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.

Качественная описательная модель.

Из условия задачи можно сформулировать следующие основные предположения:

-мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;

-изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной величиной g = 9,8 м/с , следовательно, движение по оси O У можно считать равноускоренным;

-скорость бросания мячика мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь, следовательно, движение по оси O Х можно считать равномерным.

На главную

Формальная модель

Для формализации модели обозначим величины:

-начальную скорость мячика – v 0 ;

-угол бросания мячика - α ;

-высоту стенки - h ;

-расстояние до стенки - s .

Используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения для определения координат мячика. Дальность x и высоту y при заданной начальной скорости v 0 и угле бросания α для любого момента времени t можно вычислить по следующим формулам:

x= v 0 * cos α * t, y= v 0 *sin α * t - g * t 2 / 2

Чтобы определить, попадет ли мячик в стенку, необходимо вычислить его координату у в момент времени, когда он будет находиться на расстоянии s . Из первой формулы выражаем время, которое понадобится мячику, чтобы преодолеть расстояние s : t = s / (v 0 *cos α).

Подставляем это значение времени t в формулу для вычисления координаты y . Получаем t - высоту мячика над землей на расстоянии s :

l = s * tg α-g * s 2 / (2* v 0 2 * cos 2 α).

Формализуем теперь условие попадания мячика в мишень. Попадание произойдет, если значение высоты мячика l будет удовлетворять условию в форме неравенства: 0 l h. Если l h , то это означает «перелет».

• Для ввода начальной скорости будем использовать ячейку В1,

а для ввода угла – ячейку В2.

2. Введем в ячейки А5:А18 значения времени с интервалом 0,2 с.

3. В ячейки В5 и С5 введем формулы:

= $B$1*COS( РАДИАНЫ( $B$2))*A5

= $B$1*SIN( РАДИАНЫ( $B$2))*A5-4,9*A5*A5

4 . Скопируем формулы в ячейки В6:В18 и С6:С18 соответственно.

Визуализируем модель, построив график зависимости

координаты у от координаты х (траекторию движения тела).

5. Построить диаграмму типа График, в которой используется

в качестве категории диапазон ячеек С5:С18.

Excel

На главную

Исследуем модель и определим с заданной точностью 0,1 0 диапазон изменений угла, который обеспечивает попадание в мишень, находящуюся на расстоянии 30 м и имеющую высоту 1 м, при заданной начальной скорости 18 м/с. Воспользуемся

для этого методом Подбор параметра.

6.Установить для ячеек точность один знак после запятой.

7.Внести в ячейки В21, В22 и В23 значения расстояния до мишени = 30м, начальной скорости =18 м/с и угла = 35 ,

а в ячейку В25 – формулу для вычисления высоты мячика над

поверхностью для заданных начальных условий:

= $B$21*TAN( РАДИАНЫ(В23)) – (9,81*В21 ^2)/(2*B22^2*COS( РАДИАНЫ(В23)) ^2)

Для заданных начальных условий определим углы, которые обеспечивают попадание в мишень на высотах 0 и 1 м.

8. Выделить ячейки В25 и ввести команду (Сервис-Подбор параметра). На появившейся диалоговой панели ввести в поле Значение: наименьшую высоту попадания в мишень (0). В поле Изменяя ячейки: ввести адрес ячейки, содержащей значение угла (в данном случае $B$23) .

9. В ячейке В23 появится значение 32,6. Повторить процедуру подбора параметра для максимальной высоты попадания в мишень – в ячейке В23 получится число 36,1.

Excel

Excel

На главную

План

Задача:

Тело брошено вертикально вверх с некоторой высоты. Определить через какое количество времени тело упадет на поверхность земли.

Качественная описательная модель.

Если начальная скорость бросания тела v 0 существенно меньше первой космической скорости и высота бросания h , существенно меньше радиуса Земли, можно использовать модель, рассмотренную ранее.

Формализованная модель.

Движение по вертикали – равноускоренное, поэтому изменение координаты у в зависимости от времени описывается с помощью формулы:

y = h 0 + v 0 * t – g * t 2 / 2

На главную

• Ввести начальные значения высоты h 0 и скорости v 0

в ячейки В1 и В2 соответственно.

2. Создадим таблицу значений зависимости координаты от

времени. Введем в ячейки А5:А18 значения моментов времени t

(в секундах) от 0 до 2,6 с шагом 0,2 с.

3. В ячейки В5 введем формулу уравнения движения:

= $B$ 2+ $B$ 3 *A5 - 4,9*A5^2 , в которой использованы абсолютные

ссылки на ячейки, содержащие начальные условия.

4 . Скопируем формулы в ячейки В6:В18.

5. Построить диаграмму типа График, в которой используется

в качестве категории диапазон ячеек В5:В18.

Точка пересечения графика с осью t соответствует времени

падения тела (примерно 2,4с).

Excel

На главную

Исследование биологических моделей

развития популяций

• Модель неограниченного роста

• Модель ограниченного роста

• Модель ограниченного роста с отловом

• Модель «Хищник - жертва»

Биологические модели развития популяций

На главную

Формальная модель

В модели неограниченного роста численность популяции

Ежегодно увеличивается на определенный процент.

Математическую модель записывается с помощью

рекуррентной формулы, связывающей численность

популяции следующего года с численностью популяции

текущего года, с использованием коэффициента роста:

x n+1 =a*x n

Например, если ежегодный прирост численности популяции составляет 5%, то а=1,05.

Компьютерная модель

Формальная модель

В модели ограниченного роста учитывается эффект перенаселенности, связанный с нехваткой питания, болезнями и так далее, который замедляет рост популяции с увеличением ее численности.

Введем коэффициент перенаселенности b , значение которого обычно существенно меньше a .

Тогда коэффициент ежегодного увеличения

численности равен ( a-b*x n ) и формула принимает вид:

x n+1 =(a-b*x n )* x n

Компьютерная модель

назад

Формальная модель

В модели ограниченного роста с отловом учитывается, что

На численность популяций промысловых животных

и рыб оказывает влияние величина ежегодного отлова.

Если величина ежегодного отлова равна с, то формула

принимает вид:

x n+1 =(a-b*x n )* x n - с

Компьютерная модель

Формальная модель

Популяции обычно существуют не изолированно, а во взаимодействии с другими популяциями. Наиболее важным типом такого взаимодействия является взаимодействие между жертвами и хищниками (например, караси-щуки, зайцы-волки). В модели «Хищник-жертва» количество жертв x n и количество хищников у n связаны между между собой. Количество встреч жертв с хищниками можно считать пропорциональным произведению количеств жертв и хищников, а коэффициент f характеризует возможность гибели жертвы при встречи с хищниками. В этом случае численность популяции жертв ежегодно уменьшается на величину f* x n * y n и формула принимает вид:

x n+1 =(a-b*x n )* x n – с – f* x n * y n

Численность популяции хищников в отсутствие жертв (в связи с отсутствием пищи) уменьшается, что можно описать рекуррентной формулой y n +1 = d * y n , где значение коэффициента d

Увеличение популяции хищников можно считать пропорциональной произведению собственно количеств жертв и хищников за счет жертв. Тогда для численности хищников можно использовать формулу:

y n +1 = d * y n + e * x n * y n

Компьютерная модель

1.В ячейки В1внести начальное значение численности

популяций жертв: Х1=1,50

2.В ячейки В2 внести значение коэффициента роста: а=1,10

3. В ячейку D 1 внести значение начальной численности популяций жертв: 1,50

4. В ячейку D 2 внести рекуррентную формулу неограниченного роста x n+1 =a*x n

5. Скопировать внесенную формулу в ячейки столбца командой (Правка-Заполнить-Вниз)

Excel

1.В ячейку В1внести начальное значение численности

популяций жертв: Х1=1,50

2.В ячейку В2 внести значение коэффициента роста: а=1 , 10

3 . В ячейки В3 внести значение коэффициента перенаселенности в: 0,03

4. В ячейку Е1 внести значение начальной численности популяций жертв: 1,50

4. В ячейку Е2 внести рекуррентную формулу ограниченного роста x n+1 =(a-b*x n )* x n

5. Скопировать внесенную формулу в ячейки столбца командой (Правка-Заполнить-Вниз)

Excel

1.В ячейку В1внести начальное значение численности

популяций жертв: Х1=1,50

2.В ячейку В2 внести значение коэффициента роста: а=1 , 10

3 . В ячейки В3 внести значение коэффициента перенаселенности в: 0,03

4 . В ячейки В4 внести величину ежегодного отлова с: 0,03

5. В ячейку F 1 внести значение начальной численности популяций жертв: 1,50

6. В ячейку F 2 внести рекуррентную формулу ограниченного роста с отловом x n+1 =(a-b*x n )* x n - с

5. Скопировать внесенную формулу в ячейки столбца командой (Правка-Заполнить-Вниз)

Excel

1.В ячейки В1 и В6 внести начальные значения численности

популяций жертв и хищников: Х1=1,50; У1=1,00

2. В ячейки В2:В5 внести значения коэффициентов a, b, c,d и f , влияющие на изменение численности жертв.

3. В ячейки В7 и В8 внести значения коэффициентов d и е, влияющих на изменение численности хищников.

4 . В ячейку G 1 внести значение начальной численности популяций жертв: 1,50

5. В ячейку H 1 внести значение начальной численности популяций хищников: 1,00

6. В ячейку G 2 внести рекуррентную формулу изменения количества жертв x n+1 =(a-b*x n )* x n – с – f* x n * y n

7. В ячейку H 2 внести рекуррентную формулу изменения количества хищников y n +1 = d * y n + e * x n * y n

8. Скопировать внесенную формулу в ячейки столбца командой (Правка-Заполнить-Вниз)

Excel

• В ячейки В1 и B 6 внести начальные значения численности

популяций жертв и хищников.

В ячейки В2:В5 внести значения коэффициентов a, b, c и f , влияющие на изменение численности жертв.

В ячейки В7 и В8 внести значения коэффициентов d и е, влияющих на изменение численности хищников.

В столбце D будем вычислять численность популяции в соответствии с моделью неограниченного роста, в столбце E - ограниченного роста, в столбце F -ограниченного роста с отловом, в столбцах G и H - «хищник – жертва».

2. В ячейки D 1 ,E1,F1 и G1 внести начальные значения численности популяций жертв, в ячейку H1 - хищников.

В ячейку D 2 внести рекуррентную формулу неограниченного роста x n+1 =a*x n : (=$B$2*D1)

В ячейку Е2 внести рекуррентную формулу ограниченного роста x n+1 =(a-b*x n )* x n:

(= $B$2-$B$3*E1)*E1

В ячейку F 2 внести рекуррентную формулу ограниченного роста с отловом x n+1 =(a-b*x n )* x n - с

В ячейку G 2 внести рекуррентную формулу изменения количества жертв x n+1 =(a-b*x n )* x n – с – f* x n * y n

В ячейку H 2 внести рекуррентную формулу изменения количества хищников y n +1 = d * y n + e * x n * y n

3.Скопировать внесенные формулы в ячейки столбцов командой (Правка-Заполнить-Вниз)

В ячейках столбцов ознакомиться с динамикой изменения численности популяций.

назад

Excel

Задача

В одном хозяйстве собираются разводить карпов. Прежде чем запускать мальков необходимо провести расчеты численности рыб в пруду в течение 10 лет. Первоначальная численность мальков Х 0 = 100 (1000, 1500, 2000), коэффициент роста а = 1, коэффициент перенаселенности b =0,001.

Решение:

1.Формальная модель

Задача решается с использованием рекуррентной формулы ограниченного роста x n+1 =(a-b*x n )* x n .

В данном случае х 0 + (a-b*x 0 )* x 0

2. Компьютерная модель

В В1 и D 1 внести значение коэффициентов а и b .

В ячейки С5 внести формулу F1+$B$1*F1-$D$1*F1*F1

В ячейки С 6 внести формулу C5+$B$1*C5-$D$1*C5*C5

Скопировать полученные формулы в ячейки С7:С14

Excel

Проследим, как за 10 лет будет меняться число карпов

при разном количестве первоначально запущенных рыб.

Результаты расчетов:

А = 1; b = 0.001; Х 0 = 1500

А = 1; b = 0.001; Х 0 = 100

А = 1; b = 0.001; Х 0 = 1000

Год

Год

Год

Число рыб

Число рыб

Число рыб

1

1

1

750

2

1000

2

2

190

93 8

1000

34 4

3

3

3

4

1000

4

4

5 70

996

1000

1000

81 5

5

5

5

96 6

6

1000

6

1000

6

1000

1000

99 9

7

7

7

1000

1000

8

8

1000

8

1000

1000

1000

9

9

9

1000

10

1000

10

1000

10

1000

1000

1000

Excel

Excel

Excel

назад