МБОУ «Грачёвская средняя общеобразовательная школа» Алгебра. 7 класс. Тема. Сумма n первых членов арифметической прогрессии. УМК Мерзляк А. Г. Учитель Каменская Т. А.
Вспомним
- Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
Пусть ( а n ) – конечная арифметическая прогрессия, тогда
a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; … ; a n -1; a n . её члены, а
a n =a 1 +d (n-1) – формула n-го члена арифметической прогрессии, где d – разность арифметической прогрессии.
Сумму членов арифметической прогрессии обозначим S n ., S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n -1 + a n ,
Выведем формулу для нахождения этой суммы.
Рассмотрим арифметическую прогрессию
1, 2, 3, ……, 98, 99, 100 и найдем сумму её членов.
S 100 = 1+2+3+….+98+99+100
+ S 100 = 100+99+98+…..+3+2+ 1
2 S 100 = 101+101+101+…..101+101
100
2S 100 =101·100; S 100 =5050.
Рассказывают, что выдающийся математик Карл Фридрих Гаусс придумал такое решение в возрасте 5 лет.
Запишем сумму S n двумя способами
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n -1 + a n ,
+
S n = a n + a n -1 +a n -2 + a n -3 + … +a 2 + a 1
2S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n -1 ) + …..+(a n -1 + a 2 ) + (a n + a 1 )
a 2 + a n -1 = (a 1 + d) + (a n – d) = a 1 + a n , a 3 + a n -2 = (a 2 + d) + (a n -1 – d) = a 2 + a n -1 = a 1 + a n , a 4 + a n -3 = (a 3 + d) + (a n -2 – d) = a 3 + a n -2 = a 1 + a n и т.д., получаем
2S n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) +…….+ (a 1 + a n )
n слагаемых 2S n = (a 1 + a n ) n, S n = (a 1 + a n ) n , подставив в эту формулу a n =a 1 +d (n-1) ,
2
S n = 2a 1 + d(n-1) . n , этой формулой удобно пользоваться тогда, когда заданы первый
2 член и разность прогрессии.