Презентация "Правильные многогранники

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Льюис Кэрролл

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.

Бертран Рассел

Наш мир исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Кеплера.

Многогранником называется часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников.

Правильный многогранник - это выпуклый многогранник, все грани которого - равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер .

куб

Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников.

При одной вершине сходится n плоских углов. Чтобы образовался многогранник, сумма градусных мер плоских углов должна быть меньше 360 ° , т.е. n  360 °

Существуют многогранники, гранями которых являются правильные треугольники

Угол правильного треугольника равен 60 ° , значит в

одной вершине может сходиться 3, 4 или 5 правильных

треугольников

Тетраэдр

Октаэдр

Икосаэдр

Существует многогранник, гранями которого являются правильные четырёхугольники

Угол квадрата равен 90 ° , значит в одной вершине может сходиться только 3 квадрата

Гексаэдр(куб)

Существует многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники

Угол правильного пятиугольника равен 108 ° , значит в одной вершине может сходиться только 3 правильных

пятиугольника

Додекаэдр

Существует пять различных видов правильных многогранников

Тетраэдр

Октаэдр

Икосаэдр

4 грани

20 граней

8 граней

Додекаэдр

Гексаэдр

6 граней

12 граней

Название правильного

многогранника

определяется количеством граней

Т Е Т Р А Э Д Р

Г Е К С А Э Д Р (КУБ)

О К Т А Э Д Р

Д О Д Е К А Э Д Р

И К О С А Э Д Р

Историческая справка

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.

Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Правильным многогранникам посвящена

заключительная, 13–я книга

знаменитых «Начал» Евклида

Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. "К геометрии нет царской дороги", - ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение. И тогда, Евклид

задался целью написать сочинение о правильных многогранниках рассчитанное на начинающих, в силу этого ему пришлось изложить все необходимые сведения как можно проще и доступнее.

Евклид - древнегреческий

Математик

(III в до н. э.)

Платон (ок. 428 – ок. 348 до н.э.)

Правильные многогранники иногда называют платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработан-

великим мыслителем Древней Греции Платоном

Платон связал с правильными многогранниками формы атомов основных стихий.

В его учении атомы земли имели форму куба,

атомы огня - форму тетраэдра,

Платон

(427 – 347 г. до н. э.)

атомы воздуха – октаэдра

воды – икосаэдра

Пятый многогранник – додекаэдр символизировал

весь мир и почитался главнейшим.

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.

Архимедовыми телами называются полуправильные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

Правильный многогранник

Число

граней

  Тетраэдр 

вершин

4

  Куб  

  Октаэдр  

рёбер

4

6

8

6

  Додекаэдр  

8

  Икосаэдр

12

6

12

12

20

20

30

12

30

Теорема Эйлера

Г + В – Р = 2

Леонард Эйлер

Открытие удивительной закономерности

у выпуклых многогранников -

Теорема о числе граней, вершин и рёбер

выпуклого многогранника – 1752 год

Правильный многогранник

Число

граней и вершин

(Г + В)

  Тетраэдр  

рёбер

(Р)

8

  Куб 

6

14

  Октаэдр  

  Додекаэдр  

12

14

12

32

  Икосаэдр

30

32

30

Французский математик Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр.

Два из них знал И. Кеплер

(1571 – 1630 гг.)

В 1812 году французский математик

О. Коши « доказал, что кроме пяти Платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников

• Букет Пуансо

• Букет Платона

• БукетАрхимеда

26

«Космический кубок» Кеплера

Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами.

Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, товся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.

Иоганн Кеплер (1571-1630).

Модель Солнечной

системы И. Кеплера

Площади поверхностей

S тетр . = a²√3

S гекс. = 6 a²

S окт. = 2 a²√3

S дод.= 6 Pr

S икос . = 5 a²√3

Объёмы многогранников

Вирус полиомиелита имеет форму икосаэдра

Геометрия кристаллических решёток

Куб – упаковка атомов и пространственная решётка поваренной соли

Икосаэдр В 12 – фрагмент кристаллической решётки бора

Природная форма кристаллов

Алмаз

Сернистый колчедан

Алюмокалиевые квасцы

Молекула метана

Из курса химии известно, что угол между связями

С-Н в молекуле метана, который удаётся очень

точно измерить в эксперименте – 109 о 27 ’

Молекула СН 4 имеет форму тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекул метана, полученными при помощи электронного микроскопа.

Интересный факт

Поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра.

Попытки представить Землю в виде кристаллического тела предпринимались

с незапамятных времен. Во времена, ближе к нашим, Землю в виде геокристалла

представляли Пифагор, Платон, Архимед. В настоящее время существует много моделей различных авторов. Одну из них предложил русский исследователь С.И. Кислицын в двадцатых годах прошлого века. В начале 1970-х годов за развитие этой модели взялись три российских исследователя – Н.Ф. Гончаров, В.А. Макаров и В.С. Морозов.

Разновидности правильных многогранников

Ромбокубооктаэдр

Ромбоусеченный кубооктаэдр

Звездчатый октаэдр

Большой додекаэдр

Для этой модели нужен трафарет – равнобедренный треугольник с углами по 36 и 108 градусов (см. рисунок). Склеить 20 треугольных пирамид вершинами вниз, а затем склеить пирамиды вместе.

Является объединением двух пересекающихся правильных тетраэдров, и для его изготовления требуются лишь одинаковые равносторонние треугольники.

Тринадцатая звездчатая форма

Икосаэдра

Вторая звездчатая форма икосаэдра

Восемнадцатая звездчатая форма

Икосододекаэдра

Завершающая звездчатая

форма икосаэдра

Большой звездчатый додекаэдр

Модель можно изготовить, подклеивая треугольны пирамидки к граням икосаэдра

Литература:

- Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М: Аванта плюс, 2002.

- Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. – М: Издательство АСТ, 1999.

- Ворошилов А.В. Математика и искусство. - М. просвещение, 1992. – 352

- Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 495 с

Интернет ресурсы:

• http://www.nips.riss-telecom.ru/poly/ История математики
• http://mschool.kubsu.ru/ Статьи по математике
• http://dondublon.chat.ru/math.htm Популярная математика
• http://www.uic.ssu.samara.ru/~nauka/index.htm В мире науки»
• http://www.mccme.ru/ Московский центр непрерывного математического образования
• http://mathc.chat.ru/ Математический калейдоскоп