Презентация "Признак перпендикулярности прямой и плоскости" (10 класс)

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

РАЗРАБОТАЛ: УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ КУДРЯВЦЕВА З. Н.

Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Можно ли проверить, что прямая перпендикулярна плоскости, пользуясь определением?

Нет, т.к. прямых, лежащих в плоскости, бесконечно много.

Можно ли выбрать меньшее количество прямых, чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости?

На этот вопрос отвечает признак перпендикулярности прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

а

Дано:

p

Плоскость 

о

q

прямая а ;

р   , q   , p  q = О

a  p, a  q

Доказать: а  

Изобразите данные прямые на рисунке.

ещё

О какой фигуре идёт речь?

Что еще известно?

Что надо доказать?

Дано: Плоскость  , p , q   , p  q, a  p, a  q

Доказать: a 

Назовите построенный треугольник

Что известно об этом треугольнике?

Какой вывод об этом треугольнике можно сделать?

Нужно доказать что прямая перпендикулярна плоскости.

В каком случае прямая перпендикулярна плоскости?

а).

2.

- равнобедренный

 А P В

( ОР - медиана и высота)

Если прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости

б).

 А Q В

- равнобедренный

5.

Выберем произвольную прямую , лежащую в плоскости 

( О Q - медиана и высота)

4.

?

?

 А L В

- равнобедренный

Итак, нужно доказать, что а  т.

?

О L  АВ

( О L - медиана)

Каково взаимное расположение прямых а и m ?

К чему свелось доказательство теоремы?

Прямые а и m – скрещивающиеся.

Нужно доказать, что  А L В - равнобедренный

Как определить угол м/д скрещивающимися прямыми?

Итак, нужно доказать равенство отрезков А L и L В. Как обычно доказывают равенство отрезков?

Угол м/д скрещивающимися прямыми –

это угол м/д пересекающимися

прямыми, параллельными им

Через равенство треугольников

3.

Наметьте план доказательства равенства А L и L В.

1.

Воспользуемся дополнительными построениями.

ч\з т.О параллельно прямой m проведем прямую l.

а)  APQ =  BPQ по трем сторонам, значит,  APQ=  BPQ

б)  APL =  BPL по двум сторонам и углу между ними, значит, AL = BL

Что надо доказать про прямую l ?

?

?

Прямая l должна быть перпендикулярна а .

a

Какие виды треугольников позволяют доказать перпендикулярность?

A



Прямоугольный и равнобедренный

Т.к. нет линейных величин, то используем равнобедренный треугольник .

Каким свойством р/б треугольника можем воспользоваться при

доказательстве перпендикулярности прямых?

Анимация на рисунок

P

l



q

Q

Свойством медианы, высоты и биссектрисы,

проведенным к основанию треугольника.





O

m

p

L



Построим несколько треугольников. Две вершины выберем на прямой а так, чтобы они отстояли от точки О на одинаковом расстоянии.

Третьи вершины выберем на прямой, пересекающей данные прямые р и q , а также нужную нам прямую l .



B

Составьте план доказательства

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

a

В учебнике предоставлено следующее доказательство. Изучите его.

Дано: α , a

A



p, q   , p  q

1. Дополнительные построения.

a  p, a  q

2. Работа с серединными перпендикулярами.

P

l



3. Работа с Δ АР Q и Δ Р Q В , Δ АР L и Δ ВР L .

Доказать: а  

q

Q

5. Делаем выводы.

4. Работа с Δ АВ L .





Докажем, что а  . Для этого нужно доказать, что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости  . Рассмотрим сначала случай, когда прямая а проходит через О. Проведем через О прямую l  m. Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости а прямую, пересекающую прямые р, q и l соответственно в точках Р, Q и L . Будем считать для определенности, что точка Q лежит между точками Р и L. Так как прямые р и q — серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и AQ = BQ . Следовательно,  APQ =  BPQ по трем сторонам. Поэтому  APQ =  BPQ .

Сравним теперь треугольники АВ L и ВР L .

Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР=ВР, PL —общая сторона,  , APL =  BPL ), поэтому AL = BL . Но это означает, что тре­угольник ABL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т. е. l  a Так как l  m и l  а, то m  a ( по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). .

O

m

p

L



1 .



B

Таким образом, прямая а перпендикулярна к любой прямой т плоскости а, т. е. a  a .

Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую a 1 , параллельную прямой a . По упомянутой лемме a 1  p и a 1  q , поэтому по доказанному в первом случае a 1  a . Отсюда следует, что a   , Теорема доказана.

2.

3.

Какова идея доказательства?

Какие случаи выделяются в доказательстве?

4.

Какие этапы можно выделить в 1-ом случае?

5.

На основе какого теоретического положения делается вывод о перпендикулярности скрещивающихся прямых?

Можно ли выбрать меньшее количество прямых, чем это указано в определении, чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости?

Достаточно двух пересекающихся прямых плоскости, перпендикуляр-ных к данной прямой, чтобы данная прямая была перпендикулярна к этой плоскости .

Итак, что надо сделать, чтобы при решении задач доказать перпендикулярность прямой и плоскости?

1) Найти в данной плоскости прямую, перпендикулярную данной прямой.

2) Найти в данной плоскости еще одну прямую, перпендикулярную данной прямой.

3) Убедиться, что найденные прямые пересекаются.

4) Сделать вывод, что данные прямая и плоскость перпендикулярны по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Задача . Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD

проведена прямая ОМ так, что МА=МС, MB = MD .

Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

M

, т.к. АМС – равнобедренный (по условию), МО – медиана ( CO= OA по свойству диагоналей параллелограмма)

Почему?

1. АС  МО

С

В

(аналогично)

2. BD  МО

Почему?

Начать с решения задач и шаги сделать в соответствии с алгоритмом. После решения, как итог - алгоритм

3. АС ∩ В D =О

O

МО  АВС D ( по признаку

перпендикулярности прямой

и плоскости)

D

А