Презентация Решение задач по теме параллелограмм

• Решение задач по теме:

Параллелограмм

Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

У параллелограмма противоположные стороны и противоположные углы равны; 

диагонали его делят параллелограмм на 2 равных треугольника,  а сами диагонали точкой пересечения делятся пополам.  

И сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.  

Задача 1. Периметр параллелограмма равен 90 см, а его острый угол равен 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.

Решение: 

Если угол А равен 60°, то угол В, лежащий рядом с ним , будет равен 180-60=120°. Но диагональ BD делит его в соотношении 1:3, или на 4 равные части. Получается, что одной части принадлежит 120:4 = 30°. Следовательно, диагональ BD делит угол В на 2 угла 30° и 90°.

По рисунку угол 1 — прямой. Треугольник ABD — прямоугольный. И угол 2 в треугольнике равен 30º, как накрест лежащий при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. А мы знаем, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Получается, что АВ=1/2 AD. Теперь составляем уравнение для периметра. AB+BC+CD+AD=90 1/2AD+AD+1/2AD+AD= 90 3AD=90  AD=30    AB=1/2*30 = 15. Ответ: стороны параллелограмма равны 30 см и 15 см.

Задача 2. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его диагональ на отрезки длиной 3,2 см и 8,8 см. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 30 см.

Решение: 

Мы знаем, что биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные  сторонам угла. А именно, AB:AD = BO:OD, но BO и OD равны соответственно 3,2 см и 8,8 см. Поэтому, можно принять, что АВ = 3,2х, а AD равно 8,8х. Противоположные стороны параллелограмма равны.

Периметр это есть сумма всех сторон параллелограмма. Составляем уравнение:  3,2х+8,8х+3,2х+8,8х = 30 

24х = 30   х = 30/24 = 5/4. Мы нашли коэффициент пропорциональности Х=5/4. Отсюда, сторона АВ = 3,2х = 3,2 * 5/4 = 4 см. Сторона AD равна 8,8х = 8,8 * 5/4 = 11 см. Ответ: стороны параллелограмма равны 4 см, 4 см,

11 см, 11 см.

Задача 3. Параллелограмм с периметром 44 см разделён диагоналями на 4 треугольника. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 6 см. Найти стороны параллелограмма.

Решение:  

Рассмотрим два треугольника, лежащих выше диагонали d. Периметр первого равен b+c+d. Периметр второго равен a+c+d. Разность периметров двух треугольников равна 6 см. Составляем уравнение: a+c+d — (b+c+d) = a+c+d-b-c-d = a-b = 6. Получилось, что разность двух сторон параллелограмма равна 6 см.

Второе уравнение составляем из свойства периметра параллелограмма: a+b+a+b = 44 2a+2b=44 a+b=22. Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными: a — b = 6 a + b = 22             Решим её методом сложения.

Сложим левые и правые части уравнений.

Получим: a — b + a + b = 6 + 22     2a = 28    a = 14. a — b = 6   b = a — 6 = 14 — 6 = 8. Ответ: Стороны параллелограмма равны 14 см, 14 см, 8 см, 8 см.

Задача 4. Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки АМ и МС длиной

6 см и 15 см соответственно. Разность сторон параллелограмма равна 7 см. Найти длины сторон и диагонали параллелограмма.

Решение:  

  Примем сторону AB за  a,сторону  BC за  b. Из двух прямоугольных треугольников АВМ и ВМС выразим равный для них катет ВМ по теореме Пифагора. АВ² — АМ² = ВС² — МС². Подставляем вместо сторон известные выражения: а² — 6² = b² — 15²  или   15² — 6² = b² — а²   (b — а) (b + а) = (15 —

6) (15 + 6), но b — а = 7 7 (b + а) = 9 * 21   b + a = 9 * 3 = 27.

Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными, как в задаче 3. b + a =  27 b — а = 7               

Отсюда получаем 2b = 34   b = 17,  a = 27 — 17 = 10. Теперь, зная стороны параллелограмма, мы можем найти высоту ВМ. ВМ² = 10² — 6² = 64. Отсюда ВМ = 8 см. А теперь, из прямоугольного треугольника ВМО находим ВО. ВМ = 8 см, МО = АО — АМ = АС/2 — АМ = (6+15)/2 — 6 = 21/2 — 6 = 10,5 — 6 = 4,5 см. По теореме Пифагора находим ВО. ВО² = 8² + 4,5² = 64 + (9/2)² = 64 + 81/4 = 337/4. Или ВО = √337/2. Поскольку BD в 2 раза больше, чем ВО, то её длина будет равна √337. Ответ: Длины сторон параллелограмма 17 см, 17 см, 10 см, 10 см. Длина диагонали √337