Презентация "Решение задач по теме "Теория вероятностей"

Теоремы сложения и умножения вероятностей (подготовка к экзамену)

Два события называются совместными ,

если они могут произойти одновременно

при одном исходе эксперимента и несовместными ,

если они не могут происходить одновременно.

Пример: Брошена монета. Появление «герба» исключает появление «решки». События «появился герб» и «появилась решка» - несовместные.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Событие «к концу дня кофе останется в обоих автоматах» - совместные.

События А и В называются противоположными ,

если они несовместны и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию А, обозначают

символом Ᾱ.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. P(A)+P(Ᾱ)=1.

Суммой двух случайных событий А и В называется случайное событие А+В , состоящее в появлении события А или события В или события А и В одновременно.

Пример:

Событие А – попадание в цель при первом выстреле,

событие В – попадание в цель при втором выстреле.

Тогда событие С = А + В – «попадание в цель вообще», безразлично при каком выстреле.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) =Р(А)+Р(В)

Заметим, что если при определении нового события,

мы употребляем союз «ИЛИ» , то имеет место сумма

некоторых событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: 

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)

Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном (одновременном или последовательном) осуществлении обоих событий А и В.

Пример:

Событие А – выпадение «орла» при первом подбрасывании монеты, событие В – выпадение «орла» при втором подбрасывании монеты.

Тогда событие С = А · В – двукратное выпадение «орла».

Заметим, что если при определении нового события,

употребляем союз «И» , то имеет место произведение

некоторых событий.

Два события А и В, являются независимыми , если вероятность каждого из них (Р(А) и Р(В)) не зависит от наступления или не наступления второго.

Произведение двух событий А и В

обозначается А · В .

Вероятность совместного появления двух и более независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А · В) =Р(А) · Р(В)

Примеры решения задач с помощью теорем сложения и умножения

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

319355

Решение:

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: P(A  B) = 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

320171

Решение:

Определим события:   А = {вопрос на тему «Вписанная окружность»}, Р(А)=0,2.   В = {вопрос на тему «Параллелограмм»}, Р(В)=0,15. События  А  и  В  несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А)+Р(В)=0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

320197

№ 320197. Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент

вре­ме­ни тем­пе­ра­ту­ра тела здо­ро­во­го че­ло­ве­ка ока­жет­ся ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни у здо­ро­во­го че­ло­ве­ка тем­пе­ра­ту­ра ока­жет­ся 36,8 °С или выше

Решение:

Ука­зан­ные со­бы­тия про­ти­во­по­лож­ны, по­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,81 = 0,19.

Ответ: 0,19.

При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

320196

Решение:

А = {отличается меньше, чем на 0,01мм }.

п о условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965, т.е. Р(А)=0,965;

= {отличается больше, чем на 0,01мм }, поэтому искомая вероятность противоположного события равна

Р()= 1− 0,965 = 0,035. 

Ответ: 0,035.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

320172

Решение:

Определим события   А = {кофе закончится в первом автомате},   В = {кофе закончится во втором автомате},

А ∙ В = {кофе закончится в обоих автоматах},

А + В = {кофе закончится хотя бы в одном автомате}.

По условию задачи P(A)=P(B)=0,3 и P(A  B)=0,12 События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: 

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. 

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

320175

Решение:

Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,3 · 0,3 = 0,09. 

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна

1 − 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.  Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. 

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

320199

Решение:

В силу не­за­ви­си­мо­сти со­бы­тий, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны на линг­ви­сти­ку: 0,6·0,8·0,7 = 0,336, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны на ком­мер­цию: 0,6·0,8·0,5 = 0,24, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны и на «Линг­ви­сти­ку», и на «Ком­мер­цию»: 0,6·0,8·0,7·0,5 = 0,168. Успеш­ная сдача эк­за­ме­нов на «Линг­ви­сти­ку» и на «Ком­мер­цию» — со­бы­тия сов­мест­ные, по­это­му ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния. Тем самым, по­сту­пить на одну из этих спе­ци­аль­но­стей аби­ту­ри­ент может с ве­ро­ят­но­стью 0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408.

Ответ: 0,408.

На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

320200

Решение:

Пусть завод произвел  n   тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% не выявленных дефектных тарелок: 0,9 n+ 0,2  0,1 n= 0,92 n .

Поскольку качественных из них 0,9 n , вероятность купить качественную тарелку равна 

Ответ: 0,978.

320202

По отзывам покупателей Иван Иванович оценил

надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение:

Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2.

Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1.

Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,2 · 0,1 = 0,02. 

Ответ: 0,02.

Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

320198

Решение:

Рассмотрим события:

A = «учащийся решит 11 задач» и

В = «учащийся решит больше 11 задач».

Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). 

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. 

Ответ: 0,07.

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

320210

Решение: Введем обозначения для событий:

А = "батарейка бракованная", Р(А)=0,06.

= " батарейка исправная", Р()=1-0,06=0,94.

Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836. 

Ответ: 0,8836.

Используемые материалы

• ЕГЭ 2015. Математика. Задача 5. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. И. Р.Высоцкий, И.В. Ященко.− М.: МЦНМО, 2014. − 64 с.

• ЕГЭ: Математика 4000 задач с ответами базовый и профильный уровень. Все задания «Закрытый сегмент» / под ред. И.Р.Высоцкий, И.В. Ященко, А.В.Забелин.

– М.: Издательство «Экзамен», 2015. – 688с.

• http :// 4ege.ru/materials_podgotovka/4421-ssylki-na-otkrytye-banki-zadaniy-fipi-ege-i-gia.html материалы открытого банка заданий по математике 2015 года