Уравнения с параметром. Системы уравнений с параметром
Уравнения с параметром
Слово « параметр » происходит от греческого слова parametron – отмеривающий.
Уравнения, в записи которых, кроме неизвестного, есть буква, обозначающая число, называют уравнениями с параметром .
( а – 1)х + 4 = а + 1, где а – параметр;
х 2 + 4( с – 1)х + с 2 = 0, где с – параметр.
Решение уравнения с параметром
Решить уравнение с параметром – это значит указать значение параметра, при которых уравнение имеет корни, и для этих значений параметра найти корни уравнения, а также указать, при каких значениях параметра решений нет.
( Решить уравнение с параметром – это значит решить данное уравнение при каждом значении параметра)
Пример 1
Решить уравнение с неизвестным х
(а – 3)х + 4 = а + 1 .
Решение. (а – 3)х = а – 3;
- Если а ≠ 3 , то уравнение имеет единственный
корень х = , т.е. х = 1 .
- Если а = 3 , то данное уравнение равносильно уравнению 0 ∙ х = 0, х – любое число .
Ответ: х = 1 , при а ≠ 3 ;
х - любое число при а = 3 .
а – 3
а - 3
Пример 2
Решить уравнение с неизвестным х: с 2 х – с = 4х + 2 .
Решение. с 2 х – с = 4х + 2, с 2 х - 4х = с + 2, (с 2 – 4)х = с + 2
- Если с 2 – 4 ≠ 0, т.е . с ≠ -2 и с ≠ 2 , то х = .
- Если с 2 – 4 = 0, т.е. с = -2 и с = 2 .
Когда с = -2 , то данное уравнение равносильно уравнению 0 ∙ х = 0, х – любое число .
Когда с = 2 , то данное уравнение равносильно уравнению 0 ∙ х = 4, нет корней .
Ответ : х = , при с ≠ -2 и с ≠ 2 ;
х – любое число , при с ≠ -2 ;
нет корней , при с ≠ -2 .
1
с – 2
1
с - 2
Пример 3
При каких значениях параметра а уравнение
х 2 + 4(а – 1)х + а 2 = 0
имеет единственное решение?
Решение . Квадратное уравнение имеет
единственное решение при D = 0 .
Тогда D = 4(а 2 – 2а + 1) – 4а 2 = -8а + 4 .
-8а + 4 = 0 ,
а = 0,5 .
Ответ : при а = 0,5 .
0, т.е. а , то . Когда D = 0, т.е. а = , то . Когда D т.е. а , то корней нет . 1 8 1 8 1 8 " width="640"
Пример 4
Решить уравнение с параметром а:
ах 2 + 4(а – 1)х + 4а = 0 .
Решение. ах 2 + 4(а – 1)х + 4а = 0 .
- Если а = 0 , то уравнение имеет вид
0х 2 - х = 0, х =0 .
- Если а ≠ 0 , то решение зависит от значения
дискриминанта D = -8a + 1.
Когда D 0, т.е. а , то .
Когда D = 0, т.е. а = , то .
Когда D т.е. а , то корней нет .
1
8
1
8
1
8
∩
Пример 4
Ответ:
ри а (-∞; 0) (0; ) ;
х = 0 при а = 0 ;
при а = ;
нет корней при а ( ; + ∞) .
1
8
1
8
1
8
Системы уравнений с параметром
Системы уравнений, в записи которых, кроме неизвестного, есть буквы, обозначающие числа, называют системами уравнений с параметром .
2х – у = 3, ( а + 1)х + а у = 4 а + 1,
а х + 4у = 1; ( а – 3)х + (3 а – 4)у = а – 6.
Решение систем уравнений с параметром
Решить систему уравнений с параметром – это значит указать значение параметра, при которых система уравнений имеет решения, и для этих значений параметра найти решения системы, а также указать, при каких значениях параметра решений нет.
( Решить систему уравнений с параметром – это значит решить данную систему уравнений при каждом значении параметра)
Пример 1
Решить систему уравнений с параметром р :
рх + у = 3,
2х + (2р – 3)у = 1.
Решение . Решаем систему методом подстановки.
у = 3 - рх,
2х + (2р – 3)(3 – рх) = 1.
Пусть -2р 2 + 3р + 2 = 0 , тогда р = -0,5 или р = 2 .
Когда р = -0,5 , то линейное уравнение имеет вид
0 ∙ х – 13 = 0 , нет корней .
Следовательно нет решений и у системы.
Когда р = 0,5 , то линейное уравнение имеет вид
0 ∙ х + 2 = 0 , нет корней .
Следовательно также нет решений у системы.
(-2р 2 + 3р + 2)х + 6р – 10 = 0 .
Когда р ≠ -0,5 и р ≠ 2 , то линейное уравнение имеет
один корень
Из первого уравнения системы у = 3 – рх находим
Ответ: ; при р ≠ -0,5 и р ≠ 2 ;
система не имеет решений при р = -0,5 и р = 2 .