Презентацию по теме: "Применение производной к исследованию функции", 11 класс

Определения

• Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.
• Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называются критическими

0 , при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞ ) f ´(x) Ответ: при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞ ) функция возрастает, а при х ϵ (1; 3) - убывает - + f ´(x) + х 1 3 f(x) " width="640"

Например : найти промежутки монотонности функции f(x) = x³ - 6x² + 9x – 1

1) f´(x) = 3x² - 12x + 9

2) Найдем стационарные точки:

f´(x) = 0, 3x² - 12x + 9 = 0

x² - 4x + 3 = 0

x = 1 и х = 3

3)

4)

5) f ´(x) 0 , при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞ )

f ´(x)

Ответ: при x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞ ) функция возрастает, а при х ϵ (1; 3) - убывает

-

+

f ´(x)

+

х

1

3

f(x)

Домашняя работа:

Найти промежутки монотонности функции

• у = 2х³ +3х ² -100
• у = х³ + 2х ² + 6
• у = 5х ² + 15х - 1
• у = 60 + 45х – 3х ² - х³
• у = - 3х + 6х ² - 100

Нахождение

точек экстремума

функции

Определения

• Точка х о называется точкой минимума функции у = f (х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство

f(х) ≥ f (х о )

• Точка х о называется точкой максимума функции у = f (х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство

f(х) ≤ f (х о )

Определения

• Значение функции в точке максимума обозначают у max (но на определенном участке вокруг точки максимума, а не на всей области определения функции – это у наиб. )
• Значение функции в точке минимума обозначают у min (но это не у наим . функции на всей области определения)
• Точки минимума и максимума называются точками экстремума

х 0 - неравенство f ΄ (х) 0, то х 0 – точка минимума функции у = f (х) х 0 - min " width="640"

Теорема

Пусть функция у = f (х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х 0. Тогда:

а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х х 0 выполняется неравенство f ΄ (х) 0, а при х х 0 - неравенство f ΄ (х) 0, то

х 0 – точка минимума функции у = f (х)

х 0

- min

0, а при х х 0 - неравенство f ΄ (х) 0, то х 0 – точка максимума функции у = f (х) х 0 - max " width="640"

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х х 0 выполняется неравенство f ΄ (х) 0, а при х х 0 - неравенство f ΄ (х) 0, то

х 0 – точка максимума функции у = f (х)

х 0

- max

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х 0 знаки производной одинаковы, то в точке х 0 экстремума нет (происходит изменение кривизны графика функции – это точка перегиба )

х 0

х 0

экстремума нет

Алгоритм нахождения точек экстремума функции

• Найти производную функции f ΄ (х)
• Найти стационарные и критические точки функции у = f (х)
• Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой
• Определить знаки производной на получившихся промежутках
• Если f ′ (х 0 ) при переходе через точку меняет знак с «+» на «-» , то эта точка – точка максимума . Если f ′ (х 0 ) при переходе через точку меняет знак с «-» на «+» , то эта точка – точка минимума . Если f ′ (Х 0 ) не меняет знак, то в этой точке экстремума нет (это точка перегиба).

Например: найти точки экстремума функции

Решение . 1) у ΄ =12 х³ - 48х² + 48х =

= 12х(х²-4х+4) = 12х (х - 2)²

2) у ΄ =0 при х =0 и х =2 (стационарные точки)

3)

4)

5) Значит: х = 0 – точка минимума ,

х = 2 - точка максимума .

-

-

+

f ´(x)

х

0

2

Домашняя работа: Найдите точки экстремума функции и определите их характер

• у = 7 + 12х - х ²
• у = 3х³ + 2х² - 7
• у = -2х³ + 21х² + 19
• у = 3х² - х³