Предел последовательности

Предел последовательности

Автор:

Сидорова А.В.

учитель математики

МБОУ г. Мурманска

СОШ № 31

Понятие сходящейся последовательности

• ( х n ):

Сходится

Точка сгущения - 0

Предел последовательности - 0

• ( у n ):

1,3,5,7,9,…,(2n-1),...

Расходится

Нет точки сгущения

Нет предела

Окрестность точки

• интервал ( a-r , a+r ) –окрестность точки a

радиуса r .

Пример

(5,98; 6,02)-окрестность точки 6 радиуса 0,02

Предел последовательности

• Число b -предел последовательности ( у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Обозначение:

1)

или

2) у n → b

Примеры.

● (у n ): в любой окрестности точки 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то

● (у n ): в любой окрестности точки 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то

●

Примеры.

( у n ): 2, 4, 8, 16, 32,…- нет точки около которой находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то

y n =2 n →нет

● ( у n ): 5, 5, 5,…, в любой окрестности 5 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то

y n = 5 →5

1, то не существует. 3) 4) " width="640"

Некоторые утверждения

1)

2) , если 0q |

Если q 1, то не существует.

3)

4)

Свойства

● Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

● Если последовательность сходится , то она ограничена.

Обратное-неверно:1, 2, 3, 1, 2, 3,…, 1, 2, 3 … -ограниченная последовательность, но она не сходится

● Теорема Вейерштрасса

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

• Карл Теодор Вейерштрасс-
• выдающийся немецкий математик, отец «современного анализа»
• 1815-1897 г.
• Кратер на Луне

Правила вычисления пределов

Если и , то

1)Предел суммы равен сумме пределов:

2)Предел произведения равен произведению пределов:

3)Предел частного равен частному пределов:

4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Техника вычисления пределов

0

0

План конспекта

• Окрестность точки
• Предел последовательности
• Формулы вычисления пределов последовательностей
• Свойства пределов последовательностей
• Правила вычисления пределов
• Техника вычисления пределов