Предел последовательности (Презентация к уроку)

Определение

Под числовой последовательностью

х 1 , х 2 , х 3 , …, х n , … понимается функция

х n = f(n) , заданная на множестве N

натуральных чисел. Кратко последова-

тельность обозначается в виде { x n } или

х n , n  N. Число х 1 называют первым членом

(элементом) последовательности, х 2 -

вторым, …, х n - общим или n - м

членом последовательности.

Чаще всего последовательность задается

формулой его общего члена.

0 , что для любого n  N выполняется неравенство | x n |  М . В про- тивном случае последовательность называется неограниченной . " width="640"

Определение

Последовательность {x n } называется

ограниченной , если существует такое

число М 0 , что для любого n  N

выполняется неравенство | x n |  М . В про-

тивном случае последовательность

называется неограниченной .

a n (a n + 1  a n ) . Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность. Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. " width="640"

Определение

Последовательность {x n } называется

возрастающей (неубывающей), если для

любого n выполняется неравенство

а n + 1 a n (a n + 1  a n ) .

Аналогично определяется убывающая

(невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются

монотонными последовательностями.

Задание 1.

Дана числовая последовательность

{a n } : 2, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, ….

а) напишите формулу общего

члена последовательности.

б) представьте данную последовательность

точками ( n, a n ) координатной плоскости,

где n = 1, 2, 3, … .

Ответ:

а) если представить

последовательность {a n }

в виде 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, … ,

то формулу общего члена

можно записать в виде

a n = (n + 1)/n или a n = 1 + 1/n

б) при возрастании номера n

значения a n = 1 + 1/n все меньше

и меньше отличаются от 1.

Задание 2.

Постройте на оси ординат интервалы

(1 - ε; 1 + ε) для значений ε, равных 1; 0,5; 0,2.

Выделите на координатной плоскости

горизонтальные полосы, соответствующие

этим интервалам.

Исследуйте расположение точек - членов

последовательности {(n + 1)/n} - относительно

каждой из полос.

Ответ:

Внутри полосы находятся все точки - члены

последовательности, начиная со второго, а

первый член лежит на границе, т.е. вне полосы.

Для случая ε = 0,5 записывают так:

1 - 0,5

Для случая ε = 0,2 записывают так:

1 - 0,2

Вне полосы лежат члены

последовательности а 1 , а 2, а 3 , а 4 , а 5 .

Обратите внимание!

1) Мы выбирали только положительные

значения ε;

2) для каждого выбранного значения ε мы

смогли найти номер члена последовательности,

начиная с которого все последующие члены

последовательности находятся внутри

соответствующей полосы;

3) в каждом случае вне полосы (1 - ε; 1 + ε)

находится конечное число точек -членов

последовательности.

Определение

Число а называется пределом последователь-

ности {a n } , если для любого положительного

числа ε можно указать (найти, вычислить)

номер N члена последовательности, начиная

с которого все последующие члены

последовательности будут удовлетворять

неравенству

| a n - a| n = 1, 2, 3, … .

Задание 3.

Докажите, что число 2

не является

пределом числовой

последовательности

{(n + 1)/n}

1/2 , а потому оно не может быть меньше любого положительного значения ε. Этим доказано, что число 2 не может быть пределом последовательности {(n + 1)/n}. " width="640"

Ответ:

Рассмотрим абсолютную величину разности

|(n + 1)/n - 2| = |(1 - n)/n| = |1/n - 1| = 1 - 1/n ,

так как n  1 .

Нетрудно заметить, что начиная с n = 3 число

1 - 1 /n 1/2 , а потому оно не может быть

меньше любого положительного значения ε.

Этим доказано, что число 2 не может быть

пределом последовательности {(n + 1)/n}.

Задание 4.

Сформулируйте определение:

«число а не является пределом

последовательности {a n } ».

Ответ:

Число а не является пределом числовой

последовательности {a n } , если можно указать

такое положительное число ε о , что для любого

номера N члена этой последовательности

найдутся члены последовательности с

большими номерами, для которых

|a n - a|  ε о .

Геометрически эта формулировка означает, что

найдется такая горизонтальная полоса коорди-

натной плоскости, вне которой существует

точка - член последовательности с большим N .