Презентация к уроку " Предел последовательности "

Предел последовательности

Определение 1.

Функцию вида y =f(x), x N называют

функцией числового аргумента или числовой последовательностью.

y = f(n) или ( y n ) = y 1 , y 2 , y 3 , … , y n , …

Способы задания функции

Словесно

Последовательность простых чисел 1, 3, 5, 7, …

Аналитически (формулой)

y n = n 2 1, 4, 9, 16, … n 2 …

y n =2 n 2, 4, 8, …, 2 n , …

y n = C C, C, C, … (стационарная последовательность)

№ 24.1(а, г)

24.10 (б)

Ограниченность последовательности

Определение 2

Последовательность (y n ) называется ограниченной сверху , если все его члены

не больше некоторого числа.

Это число называют верхней границей последовательности.

Определение 3

Последовательность (y n ) называется ограниченной снизу , если все его члены

не меньше некоторого числа.

Это число называют нижней границей последовательности.

№ 24.12

24.13

Определение 4

Если последовательность ограничена и сверху и снизу , то её называют

ограниченной последовательностью .

y 2 y 3 … y n-1 y n y n+1 … № 24.15 " width="640"

Монотонность последовательности

Определение 5

Последовательность (y n ) называется возрастающей , если каждый её член

больше предыдущего :

y 1

Определение 5

Последовательность (y n ) называется убывающей , если каждый её член

меньше предыдущего :

y 1 y 2 y 3 … y n-1 y n y n+1 …

№ 24.15

Окрестность точки, радиус окрестности

Интервал (a – r; a + r) называют окрестностью точки а ,

число r - радиусом окрестности

Например: ( 5,9; 6,1 ) - окрестность числа 6, радиус окрестности равен 0,1

r

r

a

a - r

a + r

Предел последовательности

Определение 7

Число b называется пределом последовательности (y n ) ,

если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

1

0

0

Определение

Если последовательность стремится к некоторому числу ,

то последовательность сходится

Свойства сходящихся последовательностей

Свойство 1. Если последовательность сходится, то к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

(обратное утверждение неверно)

Теорема Вейерштрасса Если последовательность монотонна и ограничена,

то она сходится.

Теорема . Если , то

• предел суммы равен сумме пределов :

• предел произведения равен произведению пределов :

• предел частного равен частному пределов :

• постоянный множитель можно вынести за знак предела :