Представление числовой информации с помощью систем счисления

Представление числовой информации с помощью систем счисления

Представление числовой информации с помощью систем счисления

Чем отличается цифра от числа?

Для записи информации о количестве объектов используются числа . Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления .

Знаки системы счисления, с помощью которых записывают числа – это цифры .

Цифр ограниченное количество, а чисел бесконечно много!

Основные понятия:

Число – это некоторая абстрактная сущности для описания количества.

Цифры – это знаки, используемые для записи чисел.

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью знаков некоторого алфавита, называемых цифрами.

Двоичная

Позицион-

ные

Восьмеричная

Шестнадцате-

ричная

Системы

счисления

Шестидесяти-

ричная

Римская

Непозицион-

ные

Древне-

египедская

Типы систем счисления

Типы систем счисления

Непозиционные

Позиционные

значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;

значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа;

Непозиционные системы счисления

единичная

древнеегипетская

вавилонская

римская

алфавитная

I,V,X,L,C,D,M

колода

Единичная система счисления

Древнеегипетская система счисления

Пример: число 345

- единицы

- десятки

- сотни

- тысячи

- десятки тысяч

- сотни тысяч

- миллионы

Вавилонская система счисления

Обозначение :

; 60 2

; … ; 60 n

; 60 3

- 60

- десятки

- единицы

Используется ЭОР: http://fcior.edu.ru/card/1610/ponyatie-o-sistemah-schisleniya.html

Пример: Число 92=60+32 записывали так:

9

Римская система счисления

В качестве цифр в римской системе используются:

M

I

V

X

L

C

D

50

1

5

10

100

500

1000

Величина числа суммируется из значений цифр. При этом применяется следующее правило:

Значение каждой меньшей цифры, поставленной слева от большей, вычитается из значения большей цифры. Если меньшая цифра стоит справа от большей, их значения складываются.

Позиционные системы счисления

Позиционная система - значение цифры определяется ее позицией в записи числа.

• Десятичная Вавилонская (шестидесятиричная) Племена индейцев Майя
• Десятичная
• Вавилонская (шестидесятиричная)
• Племена индейцев Майя

(двадцатеричная)

• Двенадцатеричная (древняя Шумера) В компьютерной технике (двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная)
• Двенадцатеричная (древняя Шумера)
• В компьютерной технике (двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная)

Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления – это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе.

Самые распространенные позиционные системы счисления:

• Двоичная;
• Троичная;
• Четверичная;
• Пятеричная;
• Шестеричная;

• Семеричная;
• Восьмеричная;
• Десятичная;
• Шестнадцатеричная;
• Шестидесятеричная.

Десятичная система счисления

0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9

10

Цифры, используемые в системе счисления, называются алфавитом системы счисления.

Количество цифр (знаков) в её алфавите, называется основанием системы.

(a n a n-1 a 0 ) f,

Где a 0 ,a 1 ,…,a n – цифры, f – основание.

Десятичная система счисления

Любое число мы можем записать при помощи десяти цифр :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Именно поэтому наша современная система счисления называется десятичной .

Известный русский математик Н.Н.Лузин так выразился по этому поводу:

«Преимущества десятичной системы счисления не

математические, а зоологические. Если бы у нас было на

руках не десять пальцев, а восемь, то человечество бы

пользовалось восьмеричной системой счисления.»

Двоичная система счисления

Была придумана задолго до появления компьютеров. Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами. Ее недостаток – «длинная» запись чисел.

В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры: 0 и 1

Пример:

Свернутая форма записи числа: 101 2

2 1 0

Развернутая форма: 101 =1*2 2 +0*2 1 +1*2 0

Все числа в компьютере представляются

с помощью нулей и единиц, т. е.

в двоичной системе счисления.

Двоичная система счисления

Алфавит

двоичной системы – две цифры

0 и 1

Основание равно 2 .

Примеры чисел:

11001 2

10001 2

1111101 2

Восьмеричная система счисления

Алфавит

восьмеричной системы – цифры 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

Основание равно 8.

Примеры чисел:

31 8

543 8

77 8

Шестнадцатеричная система счисления

Алфавит шестнадцатеричной системы – цифры 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B , C , D , E , F

Основание равно 16.

А = 10

В = 11

С = 12

D = 13

E = 14

F = 15

Примеры чисел:

189А 16

287ВF 16

ABCDEF 16

"Алфавит" различных систем счисления

Система счисления

Основание

Двоичная

2

Восьмеричная

Размерность алфавита

Десятичная

8

2

Цифры

0, 1

10

8

Шестнадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7

10

16

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

16

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,T,F

Развёрнутая форма записи числа

Число в свернутой форме записывается так:

555 10 77 8 11001 2

В развернутой форме число записывается в виде суммы ряда степеней основания f с коэффициентами, в качестве цифр.

Пример:

2 1 0

555 10 = 5·10 2 +5·10 1 +5·10 0

1 0

77 8 = 7·8 1 +7·8 0

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную

1. Записать число в развернутой форме в виде сумм ряда степеней основания системы счисления с коэффициентами в качестве цифр данной системы счисления.

2. Вычислить полученную сумму.

Пример:

21 0 -1-2

101,01 2 =1·2 2 +0·2 1 +1·2 0 +0·2 -1 +1·2 -2 = 4+0+1+0+0,25=5,25 10

2 1 0

547 8 =5·8 2 +4·8 1 +7·8 0 =320+32+56=408 10

3 2 1 0

56AD 16 =5·16 3 +6·16 2 +10·16 1 +13·16 0 =20480+1536+1600+13=23629 10

Домашнее задание

• § 3.1.1. стр.75-79

стр. 79-80 Контрольные вопросы

стр. 80 – задание для самостоятельного выполнения выполнить письменно в тетради.