Презентация "Аксиомы стереометрии"

Изучение математики важно в двух отношениях:

во-первых, по сильному влиянию

этой строгой науки на развитие умственных способностей,

во-вторых, по обширности ее приложений.

М. Остроградский

Учебное занятие по геометрии

18 марта 2009 г

План занятия

1

Проверка домашнего задания

2

Изучение новой темы

3

Решение задач

4

Задание на дом

Знание – самое превосходное из владений.

Все стремятся к нему, само же оно не приходит.

Ал - Бируни

Изучение новой темы

План

• История геометрии
• Основные понятия геометрии
• Аксиомы стереометрии
• Следствия из аксиом

Цели и задачи

• Оперировать понятиями точка, прямая, плоскость, пространство.
• Познакомиться с аксиомами стереометрии и их следствиями.
• Применять аксиомы при решении задач.

История геометрии

1 Зарождение и определение геометрии

2 Основные этапы развития геометрии

Основные понятия в геометрии

Геометрия ― часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел; наука о фигурах и преобразовании фигур.

Теорема - утверждение, устанавливаемое при помощи доказательства.

Аксиома - положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности.

Основные понятия геометрии

Геометрия

Планиметрия

Стереометрия

раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве и свойства этих фигур.

раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.

Основные понятия геометрии

Планиметрия

Плоскость

Точка

Прямая

Пространство

Стереометрия

Основные понятия геометрии

Плоскость ― это модель идеально ровной и гладкой поверхности, бесконечно продолженной во все стороны.

Основные понятия геометрии

Классическая модель пространства – трехмерное евклидово пространство.

Пространство – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Основные понятия геометрии

Аксиома4

Аксиома3

Теоремы стереометрии

Аксиома2

Аксиома

1

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1 (аксиома принадлежности прямой)

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Аксиомы стереометрии

Аксиома 2 (аксиома о пересечении плоскостей)

Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Взаимное расположение плоскостей

Аксиомы стереометрии

Аксиома о трех точках

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.

Аксиомы стереометрии

Аксиома преемственности

В пространстве существуют плоскости. В любой плоскости выполняются все аксиомы, а значит, и все теоремы планиметрии.

Следствия из аксиом

Теорема 1

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Следствия из аксиом

Теорема 2

Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Следствия из аксиом

Теорема 3

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из аксиом

Замечание

Через любую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей.

Слишком разбросанный ум к постижению вещей не способен.

Д. Кардано

Аксиома 1

Аксиома 2

Аксиома 3

Аксиома 4

Аксиомы стереометрии

В пространстве существуют плоскости.

В любой плоскости выполняются все аксиомы, а значит, и все теоремы планиметрии .

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Аксиомы стереометрии описывают:

Способ задания плоскости

Взаимное расположение плоскостей

Взаимное расположение прямой и плоскости

А



В

А



В

С





Следствия из аксиом

2

3

1

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну

Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну

Способы задания плоскости

Плоскость можно провести через три точки

Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку

Можно провести через две пересекающиеся прямые







Теорема 1

Теорема 3

Аксиома 3

Решение задач

Решение задач

Верно ли, что любые четыре точки не лежат в одной плоскости?

Решение задач

Верно ли, что через любые три точки проходит плоскость и притом одна?

Решение задач

Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости, могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

Решение задач

Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

Решение задач

Могут ли две плоскости иметь только две общие точки?

Решение задач

Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости, могут ли прямые АВ и СД пересекаться?

Решение задач

Могут ли две плоскости иметь только одну общую прямую?

Решение задач

Верно ли утверждение, что если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Решение задач

Верно ли утверждение, что если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

S

Пользуясь данным рисунком, назовите:

1) четыре точки, лежащие в плоскости SAB , в плоскости АВС;

2) плоскость, в которой лежит прямая MN , прямая КМ;

3) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB .

К

C

А

М

N

В

S

E

D

С

А

Пользуясь данным рисунком, назовите:

1) плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF ;

2) две плоскости, которые пересекает прямая SB ; прямая AC .

F

В

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

Пользуясь данным рисунком, назовите:

1) прямую, по которой пересекаются плоскости BCD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC и A 1 B 1 B ;

2) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD 1 ; с прямой BC 1

A

D

Все искусства тяготеют к музыке; все науки - к математике.

Дж. Сантаяна

Наши знания никогда не могут иметь конца именно потому, что предмет познания бесконечен.

Б. Паскаль