Презентация к уроку: Аксиомы

1. Напоминание основных понятий

Напомним: геометрия – это наука, которая изучает свойства геометрических фигур. Геометрическая фигура – это любая совокупность точек. Геометрия подразделяется на планиметрию и на стереометрию, которую мы начинаем изучать.

2. План изучения стереометрии

Мы начнем изучение стереометрии с основных понятий, основных фигур, аксиом, точно также как это делалось в планиметрии. 

3. Основные фигуры стереометрии, примеры фигур

Основными фигурами стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Примеры стереометрических фигур: шар, сфера, конус, цилиндр, параллелепипед и т.д.

4. Обозначение основных фигур стереометрии

Рис. 1.

А, В, С, D – точки. Точки обозначаются прописными латинскими буквами.

АВ = , CD = b – прямые. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами.

 – плоскости. Плоскости обозначаются греческими буквами. (Рис. 1).

Рассмотрим прямую . На ней лежат точки А и В. Прямая  может быть также обозначена как АВ.

Рассмотрим прямую b, на ней лежат точки С и D. Прямая b может быть также обозначена как СD.

Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.

Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, . Например, точка А принадлежит прямой : .

Рассмотрим плоскость  (Рис. 1). Точка М принадлежит плоскости : . А вот прямая  не принадлежит плоскости : . 

5. Первая аксиома стереометрии

Аксиомы стереометрии.

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 

Пояснение к аксиоме А1.

Рис. 2.

Рассмотрим три точки: А, В, С, причем точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 2). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна.

Плоскость  можно также обозначить через три точки АВС. 

6. Вторая аксиома стереометрии

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 

По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую. 

Пояснение к аксиоме А2.

Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой  принадлежат плоскости  (Рис. 3).

Рис. 3.

Аксиома утверждает – все точки прямой  (прямой АВ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости  или плоскость  проходит через прямую . Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.

Эту аксиому можно записать следующим образом:

Следствие: Может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости.

Если у прямой и плоскости одна общая точка М, то тогда говорят, что прямая  и плоскость  пересекаются в точке М (Рис. 4). Этот факт записывается следующим образом: .

Рис. 4. 

7. Третья аксиома стереометрии

Аксиома 3 (А3)

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят, что плоскости пересекаются по прямой. 

Пояснение к аксиоме А3.

Имеем разные плоскости: плоскость , плоскость . Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости и плоскости . (Рис. 5)

Рис. 5.

Отсюда вытекает, что существует прямая , которая проходит через точку М, которая одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости b. Вот в этом случае и говорят, что плоскости  и  пересекаются по прямой .

Смысл аксиом разъясняется в многочисленных вопросах и задачах. Вот некоторые из них.