Урок "Аксиомы стереометрии и следствия из них"

S=ab

S=a²

S=

S=h

S=

S=ah

S=πr²

S=

S=

Работа по группам:

Группа 1

Рассчитать количество рулонов обоев для оклейки фасада дома. Один рулон составляет 50 кв.см. Произведите необходимые измерения.

Группа 2

Рассчитайте количество листов черепицы, необходимое для покрытия крыши дома. Один лит составляет 20 кв. см. Произведите необходимые измерения.

Группа 3

Рассчитайте количество листов стекла, необходимое для остекленения окон, если один лист стекла составляет 30кв. см. Произведите необходимые измерения.

Группа 4

Рассчитайте объем воздуха содержащийся в доме. Произведите необходимые измерения

На доске записаны формулы площадей плоских фигур. Сопоставьте в соответствие каждой плоской фигуре формулу нахождения ее площади

Графическая работа №1

1. Прямая лежит MP в плоскости α.

2. Прямая АВ пересекает плоскость α в точке М.

3. Плоскость α проходит через прямую а и точку М, не принадлежащую прямой а, и пересекает прямую b в точке М.

4. Прямые МС и МВ пересекают плоскость β в одной и той же точке.

5. Прямые МС и МВ пересекают плоскость γ в разных точках.

6. Прямые а и b, изображенные на рисунке параллельными, на самом деле не параллельны.

7. Плоскости α и β, изображенные на рисунке параллельными, на самом деле не параллельны.

8. Плоскости α и β имеют общую прямую а и пересекают прямую КМ соответственно в точках К и М.

9. Плоскости α и β пересекаются по прямой с, а плоскости α и γ также пересекаются по этой же прямой.

10. Плоскости α и β пересекаются по прямой МР, а плоскости α и γ пересекаются по другой прямой – прямой МТ.

11. Прямые а, b и с имеют общую точку О и лежат в одной плоскости.

12. Прямые а, b и с имеют общую точку О но не существует плоскости, в которой лежат все эти три прямые.

13. Плоскости α и β, и γ имеют единственную принадлежащую всем трем плоскостям точку О.

14. Прямые АВ и МТ таковы, что точка А не принадлежит плоскости ВМТ, а точка В не принадлежит прямой МТ.

15. На прямой а, пересекающей плоскость α в точке А, выбраны по разные стороны от А точки М и Т. Прямые ММ₁ и ТТ₁ параллельны между собой и пересекают плоскость α соответственно в точках М₁ и Т_1.

16. Две вершины треугольника АВС лежат в плоскости α, а вершина С не лежит в α. Прямая d пересекает стороны СВ и СА соответственно в точках М и Т, а плоскость α – в точке К.

Работа с учебником : Атанасян, Геометрия 10-11, 2013г. Изд.22

Стр. 7, задача 1, 2; рис.8, 9

Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным.

Б. Паскаль

ГЕОМЕТРИЯ

преподаватель Дутова О.А.

22/03/2018

Треугольник

Треугольный треугольник Угловатый своевольник. Он похож на крышу дома И на шапочку у гнома. И на острый кончик стрелки, И на ушки рыжей белки. Угловатый очень с виду Он похож на пирамиду!

Круг

Круглый круг похож на мячик,

Он по небу солнцем скачет.

Круглый словно диск луны,

Как бабулины блины,

Как тарелка, как венок,

Как веселый колобок,

Как колеса, как колечки,

Как пирог из теплой печки!

Квадрат

Словно стол стоит квадрат. Он гостям обычно рад. Он квадратное печенье Положил для угощенья. Он - квадратная корзина И квадратная картина. Все четыре стороны У квадратика равны.

Прямоугольник

Как окно прямоугольник,

Аккуратный, словно школьник.

Он похож на дверь, на книжки,

И на ранец у мальчишки.

На автобус, на тетрадку,

На большую шоколадку.

На корыто поросенка

И на фантик у ребенка.

Задание ( устно)

На доске записаны формулы площадей плоских фигур. Сопоставьте в соответствие каждой плоской фигуре формулу нахождения ее площади.

Работа по группам:

Группа 1

Рссчитать количество рулонов обоев для оклейки фасада дома. Один рулон составляет 50 кв.см. Произведите необходимые измерения

Группа 2

Рассчитайте количество листов черепицы, необходимое для покрытия крыши дома. Один лит составляет 20 кв. см. Произведите необходимые измерения.

Группа 3

Рассчитайте количество листов стекла, необходимое для остекленения окон, если один лист стекла составляет 30кв. см. Произведите необходимые измерения.

Группа 4

Рассчитайте объем воздуха содержащийся в доме. Произведите необходимые измерения.

Практическое задание:

Составьте фигуры из предложенных вам плоских фигур

D

C

C

A

B

Разгадай кроссворд

1. Расстояние от точки окружности до её центра.

3. Самая большая сторона прямоугольного треугольника.

5. Треугольник со сторонами 3, 4, 5.

4. Четырехугольник, у которого все стороны и углы равны.

6. Часть круга.

2. Часть прямой.

1

Р

У

С

Д

И

А

2

О

Р

О

К

Т

З

Е

3

П

О

Т

И

Г

У

Е

Н

З

А

4

Д

А

В

Т

К

Р

А

5

Е

Т

Е

И

П

Й

С

К

И

Г

6

Е

К

Т

Р

С

О

И

Т

Е

М

Р

Я

22.03. 2018

Тема

Аксиомы стереометрии и их следствия

D

C

A

B

13

Возьмём 6 спичек

Расположите их так, чтобы каждый конец любой соединялся только с концами двух других. Спички ломать не разрешается.

B

А

D

C

А

B

C

D

Возьмём 6 спичек

Точки A, B, C, D не лежат в плоскости стола

Точки A, B, C, D лежат в плоскости стола

Расположите их так, чтобы каждый конец любой соединялся с концами двух других.

плоскость пространство

60 0

60 0

60 0

?

Цели:

• Изучить аксиомы стереометрии:

- о взаимном расположении точек,

- о взаимном расположении прямых,

- о взаимном расположении плоскостей

в пространстве.

• Изучить некоторые следствия из аксиом стереометрии.
• Показать применение аксиом к решению задач.

1/11/19

16

16

Изучение нового материала.

Планиметрия

Стереометрия

Изучает свойства геометрических фигур на плоскости

Изучает свойства фигур в пространстве

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» объемный, пространственный, «метрео» – мерить

В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»

«гео» – по-гречески земля, «метрео» – мерить

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. п. 1.

18

18

Изучение нового материала.

Планиметрия

Стереометрия

Основные фигуры : точка, прямая, плоскость

Основные фигуры: точка, прямая

Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности.

Например, многогранники. Куб, параллелепипед, призма, пирамида.

Тела вращения.

Шар, сфера, цилиндр, конус.

Другие фигуры : отрезок, луч, треугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция, прямоугольник, выпуклые и невыпуклые n-угольники, круг, окружность, дуга и др.

18

Для обозначение точек используем прописные латинские буквы

D

F

A

Для обозначение прямых используем строчные латинские буквы

f

d

h

Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими буквами.

N

S

20

Плоскости будем обозначать греческими буквами.

На рисунках плоскости обозначаются в виде параллелограммов. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

20

Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены в аксиомах. Из множества аксиом мы сформулируем только три.

Аксиома

(от греч. axíõma – принятие положения)

исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства

Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены в аксиомах. Из множества аксиом мы сформулируем только три.

А 1 Через любые три точки, не лежащие на одной

прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация к аксиоме А 1 : стеклянная пластинка плотно ляжет на три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.

C

На кнопку «i» можно нажать несколько раз.

A

B

20

20

А 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

B

a

A

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

20

20

Из аксиомы А 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

a

N

25

25

А 3 . Если две плоскости имеют общую точку, то они

имеют общую прямую, на которой лежат все общие

точки этих плоскостей.

a

Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

25

25

А 1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

C

B

A

a

B

А 2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

A

А 3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

a

27

Теорема2 : Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Следствия из аксиом

Теорема1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

27

Закрепление изученного материала.

Назовите плоскости, в которых лежат прямые

РЕ

МК

DB

AB

EC

D

K

P

M

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 8. На кнопку «i» нажмите несколько раз.

A

E

B

27

27

Закрепление изученного материала.

Назовите

точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС,

прямой СЕ с плоскостью АDB.

D

K

P

M

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 8.

A

E

B

27

27

Закрепление изученного материала.

Назовите точки, лежащие в плоскостях АDB и DBC

D

K

P

M

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 8.

A

E

B

27

27

Закрепление изученного материала.

Назовите прямые по которым пересекаются плоскости

АВС и DCB

ABD и CDA

PDC и ABC

D

K

P

M

C

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 8.

A

E

B

27

27

Стр. 7, задача 1, 2; рис.8, 9

Работа с учебником : Атанасян, Геометрия 10-11, 2013г. Изд.22

Стр. 7, задача 1, 2; рис.8, 9

27

Ответить на вопросы:

• Назвать аксиомы стереометрии:

- о взаимном расположении точек,

- о взаимном расположении прямых,

- о взаимном расположении плоскостей

в пространстве.

27

Домашнее задание: Я путешествую по миру как архитектор. Подберите здания, которые у вас вызывают интерес как у специалиста. Расскажите о них

27

Графическая работа №1

• Прямая лежит MP в плоскости α.
• Прямая АВ пересекает плоскость α в точке М.
• Плоскость α проходит через прямую а и точку М, не принадлежащую прямой а, и пересекает прямую b в точке М.
• Прямые МС и МВ пересекают плоскость β в одной и той же точке.
• Прямые МС и МВ пересекают плоскость γ в разных точках.
• Прямые а и b, изображенные на рисунке параллельными, на самом деле не параллельны.
• Плоскости α и β, изображенные на рисунке параллельными, на самом деле не параллельны.
• Плоскости α и β имеют общую прямую а и пересекают прямую КМ соответственно в точках К и М.
• Плоскости α и β пересекаются по прямой с, а плоскости α и γ также пересекаются по этой же прямой.
• Плоскости α и β пересекаются по прямой МР, а плоскости α и γ пересекаются по другой прямой – прямой МТ.
• Прямые а, b и с имеют общую точку О и лежат в одной плоскости.
• Прямые а, b и с имеют общую точку О но не существует плоскости, в которой лежат все эти три прямые.
• Плоскости α и β, и γ имеют единственную принадлежащую всем трем плоскостям точку О.
• Прямые АВ и МТ таковы, что точка А не принадлежит плоскости ВМТ, а точка В не принадлежит прямой МТ.
• На прямой а, пересекающей плоскость α в точке А, выбраны по разные стороны от А точки М и Т. Прямые ММ 1 и ТТ 1 параллельны между собой и пересекают плоскость α соответственно в точках М 1 и Т 1.
• Две вершины треугольника АВС лежат в плоскости α, а вершина С не лежит в α. Прямая d пересекает стороны СВ и СА соответственно в точках М и Т, а плоскость α – в точке

27

S

Математический диктант

E

D

А

С

F

1 вариант

2 вариант

1. Сколько плоскостей можно провести через три точки?

1. Назовите основные фигуры в пространстве.

2. Назовите две плоскости, содержащие прямую DS.

3. Могут ли прямая и плоскость иметь две общие точки?

2. Назовите две плоскости, содержащие прямую ВF.

3. Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку?

4. Назовите прямую по которой пересекаются плоскости ВDE и SAC

4. Назовите прямую по которой пересекаются плоскости АЕF и АBC

5. Назовите плоскость, которую пересекает прямая SB

5. Назовите плоскость, которую пересекает прямая АС.

В

Оригами как сделать кубик из бумаги

https://youtu.be/vJEp2MJp6xE

37

Подведение итогов урока

Каким вопросам был посвящен урок?

Чему научились на уроке?

Домашнее задание

Выучить теоретические факты .

Подготовить сообщение об интересных событиях по истории развития геометрии .

Хочешь быть умным , научись

разумно спрашивать ,

внимательно слушать ,

спокойно отвечать и

переставать говорить ,

когда нечего сказать.

37