Презентация к уроку по алгебре и началам анализа в 11 классе "Равносильность неравенств"

Ответ: (0; 5)

g(x) и p(x)h(x) называют равносильными, если их решения совпадают. Определение2. Если общее решение неравенства f(x)g(x) содержится в общем решении неравенства p(x)h(x), то второе неравенство называют следствием первого. " width="640"

Определение1 . Два неравенства с одной переменной f(x)g(x) и p(x)h(x) называют равносильными, если их решения совпадают. Определение2. Если общее решение неравенства f(x)g(x) содержится в общем решении неравенства p(x)h(x), то второе неравенство называют следствием первого.

9 – это неравенство - следствие неравенства 2х6. 2х" width="640"

х 2 9 – это неравенство - следствие неравенства 2х6.

2х

g(x) f(x) - g(x)0 3x – 5х12. Пример: 3x12+5х и " width="640"

Теорема1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

f(x)g(x)

f(x) - g(x)0

3x – 5х12.

Пример: 3x12+5х и

g(x) (f(x)) 2n-1 (g(x)) 2n-1 Пример: " width="640"

Теорема 2. Если обе части неравенства возвести в одну и туже нечетную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство равносильное данному. f(x)g(x) (f(x)) 2n-1 (g(x)) 2n-1 Пример:

а g(x) равносильно: а) неравенству того же смысла f(x)g(x), если а1, б) неравенству противоположного смысла f(x)а f(x) а g(x) f(x)g(x), если а1 и а f(x) а g(x) f(x)Примеры: " width="640"

Теорема 3.

Показательное неравенство а f(x) а g(x) равносильно: а) неравенству того же смысла f(x)g(x), если а1, б) неравенству противоположного смысла f(x)

а f(x) а g(x) f(x)g(x), если а1

и а f(x) а g(x) f(x)Примеры:

g(x) умножить на одно и тоже выражение h(x), положительное при всех х из области определения неравенства f(x)g(x), оставив при этом знак неравенства без изменения, о получится неравенство f(x) h(x)g(x) h(x), равносильное данному. б) Если обе части неравенства f(x)g(x) умножить на одно и тоже выражение h(x), отрицательное при всех х из области определения неравенства f(x)g(x), изменив при этом знак неравенства на противоположный, о получится неравенство f(x) h(x) Если h(x)0 на ОДЗ неравенства f(x)g(x), то f(x) h(x)g(x) h(x) Если h(x)g(x), то f(x) h(x) Примеры: 2х4 и х2 , х(-х 2 -1) -х 2 -1 и х" width="640"

Теорема4. а)Если обе части неравенства f(x)g(x) умножить на одно и тоже выражение h(x), положительное при всех х из области определения неравенства f(x)g(x), оставив при этом знак неравенства без изменения, о получится неравенство f(x) h(x)g(x) h(x), равносильное данному.

б) Если обе части неравенства f(x)g(x) умножить на одно и тоже выражение h(x), отрицательное при всех х из области определения неравенства f(x)g(x), изменив при этом знак неравенства на противоположный, о получится неравенство f(x) h(x)

Если h(x)0 на ОДЗ неравенства f(x)g(x), то f(x) h(x)g(x) h(x)

Если h(x)g(x), то f(x) h(x)

Примеры: 2х4 и х2 ,

х(-х 2 -1) -х 2 -1 и х

g(x) неотрицательны в области его определения, то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же четную степень получится неравенство того же смысла (f(x)) 2n (g(x)) 2n , равносильное данному в его ОДЗ. Если f(x)≥0 и g(x)≥0, то f(x)g(x) ⇔ (f(x)) 2n (g(x)) 2n Пример : х 2 ≥9 ⇔ х≥3 при х≥0 (слайд11) " width="640"

Теорема5. Если обе части неравенства f(x)g(x) неотрицательны в области его определения, то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же четную степень получится неравенство того же смысла (f(x)) 2n (g(x)) 2n , равносильное данному в его ОДЗ.

Если f(x)≥0 и g(x)≥0, то f(x)g(x) ⇔ (f(x)) 2n (g(x)) 2n

Пример : х 2 ≥9 ⇔ х≥3 при х≥0 (слайд11)

g(x), если а1, б) неравенству противоположного смысла f(x)  " width="640"

Теорема 6. Пусть Х – решение системы неравенств

Тогда логарифмическое неравенство

равносильно на множестве Х:

а) неравенству того же смысла f(x)g(x), если а1,

б) неравенству противоположного смысла f(x)

К чему приводят неравносильные преобразования неравенств?

Решить неравенство

Системы и совокупности неравенств

))

Решите систему неравенств

Ответ: )

Решите совокупность неравенств

)

Ответ:

• Что нового было на уроке?
• Больше всего затруднений вызвало…
• Для меня непонятно было…

Домашнее задание

№ 28.1(б), 28.3(б,в), 28.10(б), 28.12(в), 28.41(б), 28.49 (а)