Презентация к уроку "Сечение многогранников"

Управление образования администрации муниципального образования

город Алексин Тульская область

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия №13»

Учитель математики Чернышова Н.Н.

Построение сечений

• Построение сечений многогранников можно осуществлять на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей.
• Вместе с тем, существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются следующие три метода:

- метод следов

- метод внутреннего проектирования

- комбинированный метод

Построение сечений

• Построение на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей

-Задача №1

-Задача №2

-Задача №3

№ 1. Построить сечение, определенное точками K, L, С.

Решение :

S

K

L

• Прямая КС

2. Прямая СL

В

3. Прямая КL

∆ КСL – сечение

А

С

N2. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА 1 и CC 1 .

Решение :

В 1

С 1

1. Прямая А 1 С 1

А 1

2. Прямая АС

D 1

АА 1 С 1 С - сечение

В

С

А

D

№ 3. Построить сечение, определяемое пересекающимися прямыми АС 1 и А 1 С.

В 1

С 1

Решение :

1. Прямые А 1 С и АС 1

А 1

D 1

2. Прямые АС и А 1 С 1

3. Прямые АА 1 и СС 1

В

С

АА 1 С 1 С – искомое сечение

А

D

Метод следов

• Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.
• Из определения следует, что в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая – в плоскости основания. Именно это свойство следов используется при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Построение

сечений

• Метод следов

- Задача №4

-Задача №5

ЗАДАЧА №4

По строить сечение куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плос -костью α, проходящей через точки P, R и M. Где М Є DD 1 , Р Є CC 1 ,а R Є ВА.

B 1

C 1

D 1

P

A 1

Решение :

• PM

K

2) CD∩ PR =F

N

B

3) FR

C

4) FR∩ AD =V

M

5) CB∩ FR =N

R

6) NP

D

7) NP∩BB 1 =K

V

A

F

8) KR

9) VM

PMVRK - исходное сечение

10) KP

11) RV

S

Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью МNК. ( М,N,К – произвольные точки на ребрах SВ, АD и SC)

ЗАДАЧА №5

М

К

P

Решение :

В

С

1)ВС ∩ МК=Е

E

.

R

2) EN ∩ CD=R

А

3) BA ∩ EN =F

D

4) FM ∩ SA=P

N

F

5) MK

6) KR

7) NR

MKRNP - искомое сечение

8) NP

9) PM

1)Общая часть круга и полуплоскости

2) Отрезок, соединяющий

вершину треугольника с

серединой противоположной

стороны.

г

г

с

е

т

е

м

н

1

3) Замкнутая плоская кривая,

все точки которой находятся

на одинаковом расстоянии

от некоторой точки

е

а

н

а

и

д

м

е

2

о

н

т

р

ь

о

к

о

с

ж

у

3

м

4)Параллелограмм с прямыми

углами

р

у

о

л

ь

м

и

п

к

г

н

о

я

4

е

и

е

д

и

н

ж

в

е

5)Преобразование, при котором

сохраняются расстояния между

любыми двумя точками

5

т

т

о

м

я

г

о

е

т

и

6

р

6)Геометрическое преобразование

п

р

д

м

и

и

а

а

7

7) Геометрическое тело, много-

гранник

и

ц

и

а

р

я

е

т

п

8

8) Вид выпуклого четырехуголь

ника

я

я

с

а

р

т

н

с

о

и

е

9

9) Длина отрезка прямой, соединя

ющей две очки на плоскости,

если … между ними

• Сущность этого метода состоит в том, что на некоторых этапах построения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построения этого сечения осуществляется с использованием теорем о параллельности в пространстве и др.

Комбиниро-ванный метод

Построение

сечений

Метод

внутреннего проектирования

-Задача №6

-Задача №7

Комбинированный метод

-Задача №8

P

ЗАДАЧА № 6

Постройте сечение пирамиды плоскостью α=(MHK) , где M Є PC, H Є PB, K Є PD.

.

M

Решение :

K

H

1) CB ∩MH = E

Q

С

2)CD ∩KM =Q

D

L

3)QE

А

4) QE∩ AD = L

F

В

5) QE∩ AB = F

E

6) FH

7)KL

MHFLK - искомое сечение

ЗАДАЧА №7

E 1

Построить сечение призмы ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 плоскостью α, которая задана следом k в плоскости ABC основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD 1 .

D 1

A 1

M

C 1

T

B 1

F

D

E

Решение :

1) DC ∩ k = R

H

C

A

2) MR ∩ CC 1 = F

3) CB ∩ k = P

R

4) FP ∩ BB 1 = H

k

B

5) FD ∩ k = G

G

6) GH ∩ AA 1 = T

V

7) EA ∩ K = V

P

8) VT ∩ EE 1 = E 1

MFHTE 1 - искомое сечение

9)E 1 D 1

T

ЗАДАЧА №8

Постройте сечение параллелепипеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 плоскостью α ,заданной точками и P,Q,R, если точка Р лежит на диагонали А 1 С 1 , точка Q - на ребре ВВ 1 и точка R- на ребре DD 1 .

С 1

R

H

P

А 1

В 1

M

N

D

С

Решение :

1) AC и BD

Q

P 1

2) PP 1 AC

E

3) P 1 B ∩PQ = E

В

А

4) DB ∩RQ = K

K

5 ) KE =d – след

6) α ∩ A 1 B 1 C 1 =HR

7) α ∩ AB B 1 A 1 = QM

8) HM

d

9) MQ ll RN

HRNQM - искомое сечение

10) QN

M

M

P

N

P

N

N

P

M

N

M

N

M

P

M

P

P

N

Постройте сечение

параллелепипеда

АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 проходя-

щее через точки М лежа

щей на грани ABCD, N –

на грани AA 1 B 1 B, Р – на

грани ВВ 1 С 1 С.

12) XZ

ЗАДАЧА №9

Z

13) XZ ∩ A 1 B 1 = U

T

B 1

14) XZ ∩ AA 1 =F

C 1

U

P

A 1

D 1

F

Решение :

S

N

1) PP 1 и NN 1

2 ) PN и P 1 N 1

P 1

3) PN ∩ P 1 N 1 = X

B

C

Y

4) XM

R

5) AD ∩ XM =Q

N 1

M

A

D

6) XM ∩ CD = R

Q

7) BC ∩ XM =Y

X

8) PY

9) PY∩ B 1 C 1 = T

FUTSRQ – искомое сечение

10) PY ∩ СC 1 = S

11) ВВ 1 ∩ РY =Z

ЗАДАЧА №10

Постройте сечение пирамиды SАВСDЕ плоскостью α =(MFR),

если точки M,Fи R явля- ются внутренними точка ми ребер соответствен- но SА,SС и SЕ.

S

R

P

K

Решение :

M

Z

1) RM

2) RF

D

E

3) AD∩ EC=V

F

4) SV

H

5) RF∩ SV = K

V

C

N

6) DS∩ MK = P

A

7) RP

B

8) PF

9) EB

10) EB ∩ AD =H

MRPFN – искомое сечение

11) SH

12) SH∩ MP = Z

13) RZ

14) RZ ∩ SB = N

15) MN и FN

Заключение

Выявлена тенденция практической направленности заданий для разностороннего развития учащихся, где происходит:

• Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям;
• Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу;
• Развитие математических способностей и мышления у учащихся;
• Развитие учащихся самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой;
• Развитие исследовательских навыков.

Данная работа может быть использована учителем на уроках геометрии по теме «Сечение фигур», учащимися средних и старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах и для самообразования. Выпускники средних школ должны не только овладеть материалом школьных программ, но и уметь творчески применять его, находить решение любой проблемы.