Презентация к уроку: "Урок одного уравнения" решение уравнений различными способами

Урок одного уравнения

Решение тригонометрических уравнений различными способами

Презентация составлена учителем Грязновой А.К совместно с учащимися по материалам решения уравнений учащимися

МБОУ Кочневская СОШ Учитель Грязнова А.К.

Содержание

1 . Метод введения вспомогательного аргумента

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат

3. Использование тригонометрических формул

4. Сведение к однородному уравнению второй степени

5. Метод оценивания

6. Графический метод

7. Замена переменных

8. Универсальная тригонометрическая подстановка

1. Метод введения вспомогательного аргумента

Решить уравнение:

Решение. a = b = 1,

Получим:

Любое решение будет изображаться одной из этих точек.

Ответ: ;

2. Возведение обеих частей в квадрат

Возведение в квадрат неравносильное преобразование, поэтому полученные корни нужно будет проверять, подставив в исходное уравнение.

Решить уравнение:

Решение. Возведём обе части в квадрат

Т.к. ,

Проверка

2. Возведение обеих частей в квадрат (продолжение)

Т.е.

Решение.

Подставляя полученные значения переменной в уравнение, получим, что не все из них являются решением уравнения.

Посторонними являются числа вида

Т.к.

Т.к.

Ответ: ;

3. Использование тригонометрических формул

.

Решить уравнение:

Решение. Так как, приходим к уравнению

Преобразуем сумму синусов в произведение:

Ответ: ;

4. Сведение к однородному уравнению второй степени

.

Решить уравнение:

Решение. Используя формулы двойного угла для синуса и косинуса, а также основное тригонометрическое тождество, получим:

Значения х , при которых , не являются решением уравнения.

Разделим полученное уравнение на получим:

или

Ответ: ;

5. Метод оценивания

.

Решить уравнение:

Решение. Рассмотрим четыре случая.

а) Если четверти, то

Тогда ,

б) Если четверти, то

в) Если четверти, то

г) Если четверти, то

Продолжение

5. Метод оценивания (продолжение)

.

Итак, решением могут быть только числа в «граничных» точках (т.е. в точках пересечения числовой окружности с осями координат). Проверяя каждую из них, находим корни:

1.

2.

3.

4.

Ответ: ;

6. Графический метод

Решение. Если , то

Построим графики функций и

Абсциссы точек пересечения графиков являются решением уравнения.

Ответ:

7. Замена переменной

Решит уравнение

Решение. Выполним замену : . Тогда

Т.к. , то

Ответ:

8. Универсальная тригонометрическая подстановка

Решение.

Этот способ решения применяют лишь в том случае, когда не видно других путей решения.

Пусть . Тогда

Заметим, что корнями исходного уравнения не являются значения,

при которых не определён, т.е. , значит при

Выполнив замену, получим:

8. Универсальная тригонометрическая подстановка (продолжение)

Так как знаменатель дроби принимает только положительные значения, данное уравнение равносильно уравнению:

Ответ:

Справка №1 Метод введения вспомогательного аргумента

Поделив обе части на получим:

Справка №2 Сведение к однородному уравнению второй степени

Применим формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество

Выполнив тождественные преобразования получим однородное уравнение второй степени

Справка №3 Универсальная тригонометрическая подстановка

Полученное выражение поделим и умножим на (т.е. умножим на 1)

Справка №3 (продолжение) Универсальная тригонометрическая подстановка

Полученное выражение поделим и умножим на

=

Всего вам хорошего!!

Каждый способ решения научил нас чему-то полезному.

Когда–нибудь, например, на экзаменах или контрольной, именно один из них поможет решить сложное тригонометрическое уравнение.

Успехов в учёбе !!

Домашнее задание

1. Школьный тест в Дневнике. ру . (составитель Грязнова А.К.) «Тригонометрические уравнения»

http :// tests . dnevnik . ru /? test =22408& view = details & context = school

• Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов http://fcior.edu.ru/card/13127/metody-resheniya-trigonometricheskih-uravneniy-ispolzovanie-neskolkih-priemov-pri-reshenii-trigonome.html

(выйти по сноске и нажать - загрузить модуль).

Пояснение ко 2 заданию : Решаете самостоятельно; решение записать в тетрадь. Если возникают затруднение, то разбираетесь в представленной помощи в модуле.

Удачи!!

Использованные материала

• Научно практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников» №1- 2008г

• Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа для 10 класса общеобразовательных школ /М.: Просвещение, 2006г
• Программу для построения графиков функций Advanced Grapher 2.06
• Материалы Федерального центра информационно-образовательных ресурсов

• Картинка учитель http://pozitiv11.ru/wp-content/uploads/Nash-uchitel-dorogoy.jpg

http://fcior.edu.ru/card/13127/metody-resheniya-trigonometricheskih-uravneniy-ispolzovanie-neskolkih-priemov-pri-reshenii-trigonome.html