Презентация на тему "Многогранники"

Основные виды многогранников

Пирамида

Это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники  с общей вершиной.

Призма

Многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы.

Призматоид

Многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники или трапеции, вершины которых являются и вершинами  многоугольников оснований.

Тетраэдр

Правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это - правильная треугольная пирамида).

Гексаэдр (куб)

Правильный шестигранник. Это куб состоящий из шести равных квадратов.

Октаэдр  

Правильный восьмигранник, состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

Додекаэдр

Правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины.

Икосаэдр

Состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины.

Звездчатые формы и соединения тел Платона.

Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Звездчатый октаэдр

Восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к октаэдру.

Малый звездчатый додекаэдр

Звездчатый додекаэдр первого продолжения, образован продолжением граней выпуклого додекаэдра до их первого пересечения.

Формула Эйлера

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесем результаты в таблицу № 1.

Анализируя таблицу № 1, возникает вопрос: «Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Например, в столбце «грани» казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 ? 12, 12 + 2 ? 20). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания.

Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце «ребра» закономерности тоже не видно.

Таблица №1

Правильный многогранник

Число

граней

Тетраэдр

вершин

4

Гексаэдр

Октаэдр

ребер

4

6

Додекаэдр

8

8

6

12

6

12

Икосаэдр

12

20

20

30

12

30

Таблица №2

Правильный многогранник

Число

Тетраэдр

граней и вершин

4+4=8

Гексаэдр

ребер

(Г+В)

(Р)

6

6+8=14

Октаэдр

12

8+6=14

Додекаэдр

12

12+20=32

Икосаэдр

30

20+12=32

30