Презентация на тему "Пирамида"

Пирамиды

Преподаватель математики

Е.А.Рахаева

История развития геометрии пирамиды

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды был Демокрит , а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид, систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

A

A – Вершина пирамиды;

AB, AC, AD, AE – Рёбра пирамиды;

ADE, AEB, ABC, ACD – боковые грани пирамиды;

BCDE – Основание пирамиды;

AG – Высота;

AF – Апофема ;

AEC – Диагональное сечение.

B

E

G

F

D

C

апофема  — высота боковой грани правильной пирамиды ;

боковые грани  — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

боковые ребра  — общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды   — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота   — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

диагональное сечение пирамиды   — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

основание   — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Виды пирамид

Тетра́эдр (четырёхгранник)— многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра Параллелепипуд.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.

Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

Виды пирамид

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды .

Виды пирамид

Часть пирамиды, лежащая между основанием и параллельным основанию сечением, называется усеченной пирамидой.

Формулы

• Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом φ, то

Эта формула справедлива, в частности, для правильной пирамиды.

Формулы

• Для правильной пирамиды справедливы формулы:

где a – апофема боковой грани, P – периметр основания

где a – апофема боковой грани, P – периметр основания

Формулы

• Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то:

• боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки в отношении

• площади сечения и основания пирамиды относятся как квадраты их расстояний до вершины пирамиды:

Формулы

• В правильной усеченной пирамиде площадь боковой поверхности

где P 1 , P 2 – периметры оснований, A – апофема усеченной пирамиды.