Презентация на тему :Центральные и вписанные углы"

Центральные углы и углы, вписанные в окружность

Центральный угол  — угол с вершиной в центре окружности.  Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается . Вписанный угол  — угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность

Центральный угол

Это угол с вершиной в центре окружности.

О

Дуга окружности, соответствующая центральному углу

Это часть окружности, расположенная внутри угла

А

АВ

О

В

Градусная мера дуги окружности

Это градусная мера соответствующего центрального угла.

АВ

=  АОВ

Вписанный угол

Это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

А

С

В

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью        Теорема 1 . Величина  вписанного угла  равна половине величины  центрального угла , опирающегося на ту же дугу.        Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол  ABC , сторона  BC  которого является диаметром окружности , и центральный угол  AOC

Так как отрезки  AO  и  BO  являются  радиусами окружности , то  треугольник  AOB  –  равнобедренный, и угол  ABO  равен углу  OAB  . Поскольку угол  AOC  является  внешним углом треугольника   AOB , то справедливы равенства

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

  Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла.

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла

  В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.