Презентация "Пифагор"

Исследовательский проект

Теорема Пифагора

учащиеся 9 класса

(

Пифагор Самосовский

Ок. 580 до н.э.- ок. 500 до н. э.

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э.

море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

В Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском

родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу.

Он поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Биография

Школа Пифагора

Вот их заповеди: - Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться. - Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись всему, что следует знать... - Не пренебрегай здоровьем своего тела... - Приучайся жить просто и без роскоши. - Не закрывай глаз, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.

Сын бога Солнца

По античным свидетельствам он был красив и обладал незаурядными способностями…

Пифагор славится, как известный математик и философ. Создает первую в Элладе философскую школу и проект первого театра. Кроме того он разработал систему начального, среднего и высшего образования и содержание таких наук, как грамматика, арифметика, астрономия, геометрия, музыка,

поэтика и риторика.

Вклад ученого в развитии математики

• Все числа разделял на четные и нечетные.
• Основой всех чисел считал единицу, которая рассматривалась как четно- нечетное число.
• Единица- это священная монада, выступающая в качестве первоначала и основы окружающего мира.
• Числа выступали как реальная сущность всех вещей.
• Пифагор и пифагорейцы заложили основы теории чисел и принципы арифметики.

Пифагорийская астрономия

• Пифагор считал, что Земля имеет форму шара и является центром вселенной.
• Согласно Пифагору, положение каждого тела во вселенной определяется его достоинствами.

«Человек и Вселенная сделаны по образу Бога»

Пифагор

Он, далее, учил, что есть постоянное взаимодействие между Большим Человеком (Вселенной) и человеком (малой вселенной).

Пифагор-кто он?

У него, как говорили, было замечательное колесо фортуны, с помощью которого он мог предсказывать будущее и весьма отдаленные события.

Он верил в то, что медь имеет пророческие свойства, потому, что даже когда все вокруг спокойно, в медной чаше слышалось грохотанье.

Он однажды обратился с молитвой к духу реки, и из воды послышался голос:

« Пифагор, я приветствую тебя».

Говорят, что он мог заставить демонов входить в воду и мутить ее и через такое действо, глядя на рябь, мог предсказывать некоторые вещи.

Пифагор-посланник богов

В высшей степени, вероятно, что Пифагор обладал гипнотической властью не только над людьми, но и над животными.

Он заставлял птиц изменять направление полета, медведя - прекращать набеги на жилища, а быка - менять пищу, и все это чисто умственным усилием.

Он также имел дар второго зрения, будучи способен видеть вещи на большом удалении и точно описывать события, которые еще не произошли.  

«теорема невесты» и… быки

Пифагору повезло больше, чем другим ученым древности. О нем сохранились десятки легенд и мифов, правдивых и выдуманных, реальных и вымышленных.

С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно, теорема, носящая его имя. Это теорема Пифагора.

Она была известна еще до него. Её знали в Китае, Вавилоне, Египте. Вернее не её, а частные случаи. Пифагор первым дал полноценное доказательство.

Во Франции и в Германии в средневековье почему-то теорему называли «мостом ослов», у математики арабского Востока называли « теоремой невесты», Евклид называл « теорема нимфы».

Существует легенда, - что, когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, он отблагодарил богов, принеся им в жертву сто быков.

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир увидит ее взор;

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день ее рождения…

Сонет немецкого поэта Альберта фон Шамиссо

Теорема Пифагора попала

в книгу рекордов Гиннеса

Со времён Пифагора появилось несколько сотен доказательств теоремы.

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы (для треугольника АВС квадрат, построенный на гипотенузе АС содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах – по 2 треугольника) Теорема доказана .

Доказательство теоремы Пифагора

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Доказательство теоремы, используя определение косинуса

С

Построим высоту из прямого угла С

По определению косинуса

В

Д

А

Аналогично:

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АД + ВД = АВ

получим:

Доказательство, основанное на теории подобия

Из подобия треугольников АСД и САВ следует:

С

А

В

Д

Из подобия треугольников

АВС и ДСВ следует:

Сложив почленно равенства , получим

Доказательство индийского математика Бхаскари

Дано:

прямоугольный треугольник с катетами а и в и

гипотенузой с.

Доказать:

Доказательство:

• Достроим прямоугольный треугольник до квадрата со стороной с так, как показано на рисунке.

Площадь этого квадрата равна

2.С другой стороны этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из них S= и квадрата со стороной в – а, площадь

3. Поэтому

-

На гипотенузе и

Доказательство Евклида

• На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату АGКС. Тогда сумма площадей квадратов на катетах будет равна площади квадрата на гипотенузе.

• В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD, а углы между ними равны как тупые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
• SABD = 0,5S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=0,5S ABFH
• (BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH.
• Аналогично, если вы проведёте отрезок АЕ используете равенство треугольников ВСК и АСЕ, то докажете, что SJCEL=SACKG.
• Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать.

Египетский треугольник

Египетский треугольник - это прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Он получил такое название оттого ,что был известен и широко применялся еще древними египтянами.

Они с помощью такого треугольника строили прямые углы на местности, что имело для них огромное значение, так как каждый год разливы Нила размывали границы между полями, и приходилось заново размечать их.

Это делалось очень просто: на веревке узлами отмечалось 12 равных отрезков, а потом из этой веревки складывали треугольник, и угол, оказавшийся напротив стороны 5, являлся прямым.

шение:  АВ 2  = 9+16, АВ=.

Применение теоремы в решении задач

"На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?"

Решение:  АВ 2  = 9+16, АВ=5 футов (перевести вместе в метры) 1 фут=0,3048м, 8*0,3048=2,438 м, т.е. примерно 2,4м.

Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого (18 век)

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.

И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

Решение: ВС 2 =125 2 -117 2  = (125-117)(125+117)=8*242=4*2*121*2

ВС=2*2*11=44 стопы

Задача из китайской "Математика в девяти книгах"

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи.

Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

Решение: По теореме Пифагора (x+1) 2 =x 2 +25; 2x=24, x=12 чи.; 12+1=13 чи. Ответ: глубина воды-12 чи, длина камыша-13 чи.

Решите задачи

Задача №1. Стороны прямоугольника 8см и 15см. Найдите его диагонали.

Задача №2 В равнобокой трапеции основания равны 8см и 14см, а боковая сторона 5см. Найти высоту трапеции.

Задача №3. Диагональ прямоугольника равна 10см, а его периметр 28. Найти стороны прямоугольника.

Задача №4 Площадь прямоугольного треугольника равна 24 кв.см, а его гипотенуза 10см. Каковы катеты треугольника?

Задача №5 Для крепления мачты надо установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12м, другой на земле на расстоянии 5м от мачты. Хватит ли 50м троса для крепления мачты?

Области применения теоремы

Астрономия

Строительство

В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора . Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Мобильная связь

При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе.

За светлый луч с небес вознес благодаренье…

Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины. Так художник Ф.А. Бронников (1827-1902) нарисовал картину «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу»

Картина передает пафос преклонения учеников легендарной школы перед единой гармонией, царящей в мироздании («космосе»), музыке и числе.

Значение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора – это одна из самых важных теорем геометрии.

Значение состоит ее в том, что с помощью ее можно вывести большинство теорем геометрии.

Знания теоремы и ее приложений позволяет нам применить их при решении задач.

Работа над проектом позволила расширить знания в области геометрии и математики.

Память потомков

Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье.

За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед. Они не в силах свету помешать. А могут лишь, закрыв глаза, дрожать.

От страха, что вселил в них Пифагор .

1.Акимова С. Занимательная математика Санкт-Петербург.: «Тригон», 1997.

2.Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев и др.-12-е изд.-М.: «Просвещение», 2002.

3.Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: «Просвещение», 1981.

4.Еленьский Ш. По следам Пифагора, М., 1961.

5.Журнал «Математика в школе» № 4, 1991.

6. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.

7. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.

8. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин.- 3-е изд., испр. и доп. - М.: Педагогика-Пресс, 1997.

9.Энциклопедия для детей. Т.П. Математика /Главный редактор М.Д. Аксенова. - М.: «Аванта+»,1998.

10. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. - М., 1997

11.В.К Смышляев О математике и математиках Марийское книжное издательство1977г.

12.Интернет сайты.

Литература