Презентация по геометрии "Синус, косинус и тангенс угла"

Синус, косинус и тангенс угла.

I. Повторение – мать учения

• Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

• Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

• Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0 , 45 0 и 60 0 ?

sin  =

a

c

c

cos  =

b

a

c



tg  =

b

a

b

Основное тригонометрическое тождество :

sin 2  +cos 2  =1



30 0

sin

45 0

cos

60 0

tg

3

2

1

2

2

2

3

2

1

2

2

2

3

3

1

3

II. Изучение нового материала

• Введем прямоугольную систему координат Оху

• Построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенном в I и II четвертях

у

1

1

2

х

О

• Назовем ее единичной полуокружностью

• Из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность с точке М(х;у)

у

h

1

М(х;у)

1

2

х

О

• Обозначим буквой  угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс

у

1

М(х;у)



1

2

х

О

Из прямоугольного треугольника DOM следует

MD

OM

OD

OM

sin  =

cos  =

ОМ=1

MD=y

OD=x

Поэтому

sin  = MD = y

OM

y

y

cos  = OD = x

OM

x

D

Итак

у

h

C(0;1)

M(x;y)

y



о

х

х

D

A (1;0 )

Для любого угла  из промежутка 0 0  180 0 синусом угла  называется ордината у точки М , а косинусом угла  - абсцисса х точки М

• Например:

3

• sin  =

2

 = 60 0

1

• cos  =

2

у

1

Р

3/2



1/2

2

1

х

Замечание!

• Так как координаты (х;у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках

-1  х  1

0  у  1

то для любого  из промежутка 0 0    180 0 справедливы неравенства

• то для любого  из промежутка 0 0    180 0 справедливы неравенства

-1  cos   1

0  sin   1

у

1

М(х;у)



-1

2

1

О

х

№ 1011

Ответьте на вопросы :

• Может ли абсцисса точки единичной полуокружности иметь значения

0,3

1,3

1 3

_ 1 3

• Может ли ордината точки единичной полуокружности иметь значения

-0,3

0,6

7

1 7

Найдем значения синуса, косинуса для углов 0 0 , 90 0 и 180 0

Для этого рассмотрим лучи ОА, ОС, ОВ, соответствующие этим углам

sin 0 0 =0

cos 0 0 =1

cos90 0 =0

sin90 0 =1

у

С(0;1)

sin 180 0 =0

cos 180 0 =-1

В(-1;0)

О

2

А(1;0)

х

Тангенс угла

Тангенсом угла  (   90 0 )

называется отношение sin 

cos 

tg  = sin 

cos 

При  = 90 0 tg  не определен

знаменатель обращается в нуль!

tg 90 0 = sin 90 0

cos 90 0

cos 90 0 = 0

tg  = sin 

cos 

Найдите tg0 0 , tg180 0

tg0 0 =0

tg180 0 =0

III. Закрепление:

• № 1012. Проверьте, что точки М 1 (0;1),

М 3 (  2 ;  2 ), М 4 ( -  3 ; 1 ) , А(1;0)

2 2 2 2

лежат на единичной полуокружности.

• Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ 1 , АОМ 3 , АОМ 4 .

Ответ:

у

М 1

1

3/2

М 3

 2/2

М 4

1/2



А

-1

 2/2

-  3/2

0

1/2

1

2

х

• sinAOM 1 =1
• sinAOM 3 =  2/2
• sinAOM 4 =1/2

• cosAOM 1 =0
• cosAOM 3 =  2/2
• cosAOM 4 =-  3/2

• tgAOM 1 = -
• tgAOM 3 =1
• tgAOM 4 =-1/  3

IV. Итог урока:

• Синусом угла называется ордината (y) точки

sin  = y

• Косинусом угла называется абсцисса (x) точки

cos  = x

• Тангенсом угла называется отношение синуса угла к косинусу.

tg  = sin 

cos 

V. Домашнее задание:

• Повторить материал пунктов 93;
• Ответить на вопросы 1-3 стр.253;
• Решить задачу № 1012 (для точек М 2, В)