Презентация по теме "Производная"

• Производная.

Тайны планетных орбит.

Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси.

А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось.

Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.

В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному.

В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное.

Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.

Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.

Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений.

В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному.

Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.

• Дифференциальные исчисления – раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функции.

• 1). f(x) = 5x + 3

Найти :

f(2)

f(a)

f(a+2)

f(a+2) – f(a)

изменение

• Приращение функции и аргумента

 х = х – х о – приращение аргумента

 f(х) = f(х) – f(х о )

 f(х) = f (х о +  х ) – f(х о )

приращение функции

–

Найдите  f, если f(х) = х 2 , х о = 1, ∆ х = 0,5

Решение: f(х о ) = f(1) = 1 2 = 1,

f (х о +  х ) = f(1 + 0,5) = f(1,5) = 1,5 2 = 2,25,

 f = 2,25 – 1 = 1,25.

Ответ:  f = 1,25

• Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала движения проходит путь s(t).

Рассмотрим промежуток времени от t до t+h , где h – малое число.

Путь пройденный за это время s(t+h) – s(t).

• Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, х – точка этого промежутка и число h≠ 0 такое, что х+h также принадлежит данному промежутку. Производной функции f(x) в точке х называется:

приращение функции

приращение аргумента