Презентация по теории вероятности

«Теория вероятностей и математическая статистика»

• Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями понимается явления с неопределенными исходами, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий. Математическая статистика — раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.
• Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями понимается явления с неопределенными исходами, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий. Математическая статистика — раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.
• Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями понимается явления с неопределенными исходами, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.
• Математическая статистика — раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.

Математическая статистика опирается на теорию вероятностей. Если теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений на основе абстрактного описания действительности, то математическая статистика оперирует непосредственно результатами наблюдений над случайным явлением, представляющими выборку из некоторой конечной или гипотетической бесконечной генеральной совокупности. Используя результаты, полученные теорией вероятностей, математическая статистика позволяет не только оценить значение искомых характеристик, но и выявить степень точности получаемых при обработке данных выводов.

• Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей появились в XVI-XVII вв. Они принадлежали Д. Кардано, Б. Паскалю, П. Ферма, Х. Гюйгенсу и др. и представляли попытки создания теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам. Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Я. Бернулли (XVII – начало XVIII в.), который доказал теорему, теоретически обосновавшую накопленные ранее факты, названные в дальнейшим «законом больших чисел».

Дальнейшее развитие теории вероятностей приходится на XVII – XIX вв. благодаря работам А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса, С. Пуассона и др. Весьма плодотворные период развития «математики случайного» связан с именем русских математиков П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунова и А.А, Маркова (XIX – начало XX в.).

Большой вклад в последующее развитие теории вероятностей, математической статистики внесли российские математики С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Ю.В Линник, Б.В, Гнеденко, Н.В. Смирнов, Ю.В. Прохоров и др., а также ученые англо-американской школы Стьюдент (псевдоним В. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон, Э. Ейман, А. Вальд и др. Особо следует отметить неоценимый вклад академика А. Н. Колмогорова в становление теории вероятностей как математической науки .

Широкому внедрению математико-стастистических методов исследования способствовало появление во второй половине XX в. электронных вычислительных машин и, в частности, персональных компьютеров. Статистические программные пакеты сделали эти методы более доступными и наглядными, так как трудоемкую работу по расчету различных статистик, параметров, характеристик, построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер, а исследователю осталось главным образом творческая работа: постановка задачи, выбор методов её решения и интерпретация результатов.

Появление мощных и удобных статистических пакетов для персональных компьютеров позволяет использовать их не только как специальный инструмент научных исследований, но и как общеупотребительный инструмент плановых, аналитических, маркетинговых отделов производственных и торговых корпораций, банков и страховых компаний, правительственных и медицинских учреждений и даже представителей мелкого бизнеса.

Среди множества используемых для этих целей пакетов прикладных программ выделим популярные в России универсальные и специализированные статистические пакеты: отечественные STADIA, Эвриста, Статистик-консультант, Олимп: СтатЭксперт и американские STATGRHAPHICS, SPSS, SYSTAT, STATISTICA/w и др.

Одним из основных понятии теории вероятностей является понятие события.

Случайным событием (возможным событием или просто событием) называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Под испытанием (опытом, экспериментом) в этом определении понимается выполнение определённого комплекса условии, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или оной результат. Испытание (опыт) может быть осуществлено человеком, но может проводится и независимо от человека, выступающего в этом случае в роли наблюдателя.

События называются несовместными (несовместимыми). если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события называются совместными (совместимыми).

События называются достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется равновозможными , если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событии не является объектом более возможным.

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытании должно произойти хотя бы одно их них .

Несколько событии образуют полную группу ( полную систему ), если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результат испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Классическое определение вероятности

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятных ему, к общему числу случаев, т.е.

Р(А)=m/n ,

где Р(А) — вероятность события А;

m – число случаев, благоприятных событию А;

n — общее число случаев.

.

Отметим свойства вероятности события:

• вероятность любого события заключена между нулём и единицей, т.е.

• вероятность достоверного события равна единице.

• Вероятность невозможного события равна нулю

Статистическое определение вероятности

Выше отмечено, что классическое определение вероятности применимо только для событий, которые могут появится в результате испытании, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения. В первую очередь это событие, которое не является равновозможными исходами испытания.

Например если монета сплющена, то, очевидно, события «появления герба» и «появления решки» при подбрасывании монеты нельзя считать равновозможными, и формула для расчёта вероятности любого из них окажется неприменима.

Но есть и другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется с татистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появление этого события в n произведённых испытаниях, т.е.

P(A)=w(A)=m/n,

где Р(A) – статистическая вероятность события A;

w(A) – относительная частота (частость) события А;

m – число испытании, в которых появилось событие А;

n – общее число испытании.

В отличие от «математической» вероятности Р(А), рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Если Р(А) есть доля случаев, благоприятствующих событии А, которая определяется непосредственно, без каких–либо испытаний, то есть доля тех фактически

произведенных испытаний, в которых событие А появилось

Статистическое определение, как и понятие и методы теории вероятностей в целом, применимы не к любым событиям с неопределенным исходом, которые в житейской практике считаются случайными, а только к тем из них, которые обладают определёнными свойствами.

• Рассматриваемые события должны быть исходными только тех испытаний, которые могу быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.
• События должны обладать так называемой статистической устойчивостью, или устойчивостью относительных частиц.
• Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико, ибо только в этом случае можно считать вероятность события Р(А) приближенно равной ее относительной частоте.

Теория вероятности изучает лишь такие события, в отношении которых имеет смысл не только утверждение об их случайности, но и возможна объективная оценка относительной частоты их появления.

Геометрическое определение вероятности

Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающая его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания.

Оказывается, иногда этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть, например, плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, найдем

Где S g и S G – соответственно площади областей g и G.

Фигуру g называют благоприятствующей (благоприятной) событию А.

Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности, может быть одномерной и трёх мерной. Обозначая меру области через mes, приходим к следующему определению.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.

.

y

F

G

A

g

0

X

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

P(A+B)=P(A)+P(B)

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событии

P(AB)=P(A)*P(B)

Вероятность совместного появления двух зависимых событии равна произведению одного из них на условную вероятность второго.

Условная вероятность

Определение. Пусть А и В — два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятность события А при условии, что наступило В, называют число P(AB)/P(B).|

Если обозначить условную вероятность P(A/B)? то получим формулу

P(A/B)=P(AB)/P(B)

При совместном рассмотрении 2х случайных событии А и В часто возникает вопрос: как связаны события А и В друг с другом, как наступление одного из них влияет на возможность другого?

Простейшим примером связи между 2я событиями служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно приводит к наступления другого, или наоборот, когда наступление одного исключает возможность наступления другого. Пусть, например, из ящика наугад выбрана деталь и событие А заключается в том, что эта деталь стандартна (не содержит брака), а событие В состоит в том, что эта деталь 1-го сорта. Тогда наступление события В (деталь 1-го сорта) влечёт за собой наступление события А ( деталь стандартная). Рассмотрим событие С- деталь не принял ОТК. В этом случае наступление события С исключает наступление события А. Однако кроме таких случаев, существует и много промежуточных, когда непосредственная причина зависимость одного события от другого отсутствует, но искомая зависимость все же имеется .

Если число подбрасывании монеты равно n, то число различных вариантов последовательности выпадений « орла» или «решки» равно 2n.

В самом деле, при одновременном подбрасывании монеты имеется ровно два её выпадения — либо «о», либо «p» (т. е. При n = 1 наше утверждение справедливо). Так как при каждом следующем подбрасывании монеты может выпасть ка «о», так «р» удваивается, что доказывает требуемое утверждения.

Непосредственное вычисление вероятностей

• В лифте на 1-м этаже девятиэтажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже с 2-го по 9-й. Какова вероятность того, что все пассажиры выдут а) на 6-м этаже; б) на оном этаже?
• По условию лотереи « Спортлото 6 из 45 » участник лотереи, угадавший 4, 5, 6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность того, что будут угаданы: а) все 6 цифр; б) 4 цифры.
• В партии 100 изделий, из которых 4 – бракованные. Партия произвольно разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова вероятность того, что все бракованные изделия достанутся: а) одному потребителю; б) обоим потребителям поровну?

В магазине было продано 21 из 25 холодильников 3 марок, имеющихся

в количествах 5, 7 и 13 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались непроданными холодильники: а) одной марки; б) трех марок.

В аудитории m=25 студентов, найти вероятность того, что хотя бы у двух студентов дни рождения совпадают. При каком числе m студентов вероятность того же события не меньше чем 0.95? (полагаем равновозможность рождений в любой день года.)

В купейный вагон (9 купе по 4 места) 7 пассажирам продано 7 билетов. Найти вероятность того, что пассажиры попали: а) в два купе; б) в 7 купе; в) в 3 купе

Вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком до 1 года равна 0.13

При эксплуатации сроком до 3 лет - 0.36. Найти вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком от 1 года до 3 лет.

В ящике 5 деталей, среди которых 3 стандартных и 2 бракованные. Поочередно из него извлекается по одной детали (с возвратом и без возврата). Найдите условную вероятность извлечения во 2-ой раз стандартной детали при условии, что в 1-ый раз извлекли деталь: а) стандартная; б) нестандартная

Работа электронного устройства прекратилась вследствие выхода из строя одного из пяти унифицированных блоков. Производится последовательная замена каждого блока новым до тех пор, пока устройство не начнем работать. Какова вероятность того, что придется заменить а) два блока; б) четыре блока?

Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.8, для второго 0.7, для третьего 0.9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишени три пробоины.

На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по 1 билету, если приобретено а) 2 билета; б) 4 билета?

Вероятность того, что студент сдаст 1-ый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а)только 2-й экзамен; б) только 1 экзамен; в) 3 экзамена; г) по крайней мере 2 экзамена; д) хотя бы 1 экзамен.

Причиной разрыва электронной цепи служит выход из строя элемента К1 или одновременный выход из строя 2х элементов – К2 и К3. элементы могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,1;0,2;0,3. какова вероятность разрыва электронной цепи

Экзаменационный билет для письменного экзамена состоит из 10 вопросов – по 2 вопроса из 20 по каждой из пяти тем, представленных в билете. По каждой теме студент подготовил лишь половину всех вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на 1 вопрос по каждой из 5 тем в билете?

При включении зажигания двигатель начнёт работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнёт работать при 3-ем включении зажигания; б) для запуска двигателя придётся включать двигатель не более трёх раз.

Среди билетов денежно-вещевой лотереи половина выигрышных. Сколько лотерейных билетов нужно купить, чтобы с вероятностью, не менее 0,999, быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету ?

Два игрока поочередно бросают игральную кость.

Выигрывает тот, у которого 1-ым выпадет «6 очков». Какова вероятность выигрыша для игрока, бросающего игральную кость 1-ым? Вторым?

Среди клиентов банка 80% являются физическими лицами и 20% - юридическими. Из практики известно, что 40% всех операций приходится на долгосрочные расчеты, в то же время из общего числа операций, связанных с физическими лицами, 30% приходится на долгосрочные расчеты. Какова вероятность того, что наудачу выбранный клиент является юридическим лицом и осуществляет долгосрочный расчет?

Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для 1-го стрелка равна 0,7, а для 2-го -0,8. Оба они делают по одному выстрелу по мишени, а затем каждый из стрелков стреляет еще раз, если при сделанном им выстреле он промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени ровно 2 пробоины.

Вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине А, равно: 0, 8. Условная вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине В ,равна: 0,5 при условии что он экзамен по дисциплине А сдаст; 0,6 при условии – что он не сдаст.

• Найти вероятность того, что экзамен хотя бы по одной из двух дисциплин студент: а) сдаст; б) не сдаст.
• Являются ли события – сдача экзамена по дисциплинам А и В независимыми?

В торговую фирму поступили телевизоры от 3 поставщиков в отношении 1:4:5. практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го, 3-го поставщиков не требуют ремонта в течении гарантийного срока соответственно в 98, 88, 92% случаев.

• Найти вероятность того, что поступившие в торговую фирму телевизоры не потребуют ремонта в течении гарантийного срока.
• Проданный телевизор потребовал ремонта в течении гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор.

Известно что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощённая схема контроля признаёт пригодную продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Определить вероятность того, что:

• Взятое наудачу изделие проидет упрощённый контроль;
• изделие стадартное, если оно: а) прошло упрощенный контроль; б) дважды прощел упрощенный контроль.

Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишеням, делая каждый по 1 выстрелу. Вероятность попадания в мишень для 1-го стрелка равна 0,8; для 2-го – 0,4. после стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит: а) 1-му стрелку; б) 2-му стрелку?

Компания по страхованию автомобилей разделяет водителей на три класса, которые включают 20%, 50% и 30% водителей соответственно. Вероятности того, что в течение года водитель попадает в аварию, равны 0,01, 0.03, и 0,1 соответственно для каждого класса. Наугад выбранный водитель 2 года подряд из 5 лет срока страховки попадал в аварию. Какова вероятность того, что он относится: а) к 1 классу; б) к 3-му классу?

• В лотерее из 1000 билетов имеется 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет будет выигрышный.
• Из урны, в которой находится 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется чёрным.

• Из урны, в которой находится 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся чёрными.
• В партии из 18 деталей находится 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две детали окажутся бракованными.

• В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причём пять из них стандартные. Рабочий берёт на удачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.
• Найти вероятность того, что наудачу взятое число окажется кратным 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
• В одной урне находится 4 белых и 8 черных шаров, в другой урне — 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

• В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берёт наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
• На складе поступили детали с трёх станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от них общего количества, на втором 35% и на третьем 25%, причём на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта ,на втором 80% и на третьем 70%. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта.

• В первом ящике имеются 8 белых и 6 чёрных шаров,а во втором — 10 белых и 4 наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар — черный. Найти вероятность того, что бал выбран первый ящик.
• Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет p=0,8. Найти вероятность четырёх попадании при 6 выстрелах.

• Новогодняя гирлянда состоит из 240 сних, 400 красных, 200 жёлтых и 360 зелёных лампочек, одна из лампочек перегорела. Какова вероятность, что перегорела лампочка зелёного цвета?
• В конкурсе эстрадной песни «Евровидение» участвуют представители 50 стран, по одноителю от каждой страны. Все выступления разбиваются жеребьевкой на два полуфинала, по 25 человек в каждом. Порядок выступления в полуфинале также определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится во втором полуфинале и будет не раньше чем 15-ым по счёту?

• Квадратный лист бумаги со стороной 10см разбиваются на 10 квадратов со стороной 1 см и среди этих квадратиков случайным образом выбирают один. Какова вероятность , что расстояние от одной из сторон выбранного квадратика до границы листа не более 2 см?
• В коробке лежат 7 белых и 30 черных шаров. Тогда наибольшее число черных шаров можно вынуть из этой коробки, чтобы после этого вероятность наугад достать из коробки белый шар не больше 0,35?

• монету подбрасывают несколько раз так, что каждый раз с равной вероятностью выпадения «орла» или «решка». Найдите вероятность того, что при четырёх подбрасывании выпадут обе стороны монеты.
• монету подбрасывают несколько раз так, что каждый раз с равной вероятностью выпадения «орла» или «решка». Найдите вероятность того, что при трёх подбрасывании выпадет одна и та же сторона монеты.
• Перед началом волейбольного матча жребием определяется команда, которая будет первой осуществлять подачу. Команда «Рубин» по очереди играет с командой «Сапфир», «Изумруд», «Аметист» и «Топаз». Найдите вероятность того, что команда «Рубин» будет первой осуществлять подачу не более,чем двух игр,

• На гранях игрального кубика отмечены числа от 1 до 6. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков сумма выпавших на них очков не больше 9. Ответ дайте до тысячных, т.е. указав после запятой первые 3 знака.
• Саша дважды игральные кубики. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того , что при первом броске выпало меньше 4 очков.
• Маша написала в блокноте трёхзначное число, делящееся на 26. Коля должен угадать это число, написав 7 трёхзначных чисел, делящихся на 26, а затем сравнил эти числа с числом, написанными Машей. Какова вероятность, что Коля угадает загаданное Машей число?

• Из трёх чисел наугад выбирают одно. Какова вероятность, что будет выбрано число, больше 600 и делящееся на 3, не не делящееся 6? Ответ округлить до сотых.
• Из трёхзначных чисел наугад выбирают одно. Какова вероятность, что будет выбрано, десятизначной запись которого содержит хотя бы одну цифру 7?
• В коробке лежит 2 чёрных, 2 белый и один красный шар. Из коробки наугад вынимают 2 ке к зачёту по 2м предметам студент выучил по одному предмету 26 вопросов из 35, а по другому — 21 вопрос из 32. чтобы получить «зачёт» по предметы, студенту необходимо ответить на один вопрос, случайным образом выбранный из списка вопросов по данному предмету. Какова вероятность, что студент не получит «зачёт» хотя бы по одному из этих предметов?

• Некоторый прибор состоит из 3х блоков. Если в работе одного из блоков происходит собой, прибор отключается. Вероятность сбоя в течении годя для первого блока составляет 0,3, для второго 0,6, а для третьего блока 0,2. Какова вероятность, что в течении года произойдёт хотя бы одно отключение данного прибора?
• В некоторой местности летнее утро бывает либо ясным, либо облачным. Наблюдения показали, что летнее утро бывает ясным с вероятностью 0,7, причём если утро ясное, то вероятность дождя в течении дня равна 0,2, а если утро облачное — вероятность дождя равна 0,9. Какова вероятность того, что в случае выбранный летний день будет дождь?

• Даны 5 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Найти вероятность того, что, выбрав наугад 2 точки, учащийся получит нужную прямую.
• Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20 руб., на 10 — 15 руб., на 15 — по 10 руб., на 25 — по 2 руб., и на остальные — ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выйгрыш не меньше 10 руб.
• В коробке находится 250 лампочек, из них 100 по 100 Вт, 50 — по 60 Вт, 50 — по 25 Вт и 50 — по 15 Вт. Вычислите вероятность того,что мощность любой взятой наугад лампочки на превысит 60 Вт.

• В ящике находится 10 лампочек по 15 Вт, 10 — по 25 Вт, 15 — по 60 Вт и 25 — по 100 Вт. Определить вероятность того, что взятая наугад лампочка имеет мощность более 60Вт, если известно, что число ватт на взятой лампочке — четное.
• В 1ой урне находится 6 чёрных и 4 белых шара, во 2ой — 5 чёрных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по 1му шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?
• Прибор состоит из 2ух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя 1го элемента равна 0,2; Вероятность выхода из строя 2го элемента равно 0,3. найти вероятность того, что; а)оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать?

• В экзаменационные билеты включены по 2 теоретических вопроса и по 1ой задаче. Всего составлено 28 билетов. Вычислить вероятность того,что, вынув наудачу билет, учащихся ответит на все вопросы, если он подготовил 50 теоретических вопросов и 22 задачи.
• Имеется 3 партии ламп по 20, 30, 50 штук в каждой. Вероятность того, что лампы проработают загаданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7; 0,8 и 0,9. какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из ста данных ламп проработает заданное время?

Имеется 2е одинаковых урны. 1Я содержит 2 чёрных и 3 белых шара, 2я — 2 чёрных и 1 белый шар. Сначала произвольно выбирают урну, а затем из неё наугад извлекают 1 шар. Какова вероятность того, что будет выбран белый шар?

• Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно 3 раза?
• Вероятность того, что лампа останется неисправной после 1000ч работы, равна 0,2. Какова вероятность того,что из 5и ламп не менее 3х останутся исправными после 1000 ч работы?
• Разыгрываются две вещи стоимость по 5 руб. и одна вещь стоимость 30 руб. Составить закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 50.
• Монету подбрасывают 5 раз. Составить закон распределения случайной величины Х — числа выпадения герба.