Приёмы быстрого счёта

« Устный счет - гимнастика для ума»

Секреты быстрого

счета.

Старинные способы быстрого счета

Русский крестьянский способ умножения

Пример:

умножим 47 на 35,

• запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
• деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
• далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

35 + 70 + 140 + + 280 + 1120 = 1645.

Метод «решетки» ( Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми)

Метод решетки:

Найдем произведение чисел 25 и 63.

• Горизонтально запишем числа 25,

вертикально 63.

• Чертим решетку, проводим диагонали.
• На пересечениях находим

произведения чисел.

• Складываем

числа по диагоналям.

Получили результат: 1575

Как умножают в Японии? Так умножают в младших классах Японии.

Найдем произведение чисел 32 и 21

• Чертим 3 полоски, через промежуток 2.
• Под углом чертим 2 и 1 полоски.
• Считаем количество точек пересечения:

Крайние правые - единицы - 2

По диагонали – десятки - 7

Крайние левые – сотни - 6

Получили результат 672.

Умножение на двенадцать (по Трахтенбергу).

Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа».

Пример: 63247 · 12

Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась .

• 63247 · 12 1 дважды 7 будет = 14 , переносим
• 4
• 63247 · 12 дважды 4+7+1=16 , переносим 1
• 64
• 63247 · 12 дважды 2+4+1 = 9
• 964
• Следующие шаги аналогичны.
• Окончательный ответ:
• 63247 · 12 = 758964

Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами

Древние греки и индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком»

Пример:

24 ∙ 32 = 768

Последовательно производим следующие действия:

• 4 ∙ 2 = 8 – это последняя цифра результата.
• 2 ∙ 2 = 4; 4 ∙ 3 = 12; 4 + 12 = 16.

6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.

• 2 ∙ 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.

Ответ: 768.

Счёт на пальцах

Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.  

Допустим, нам нужно умножить 7 на 9.

Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева).

Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения.

Сложение с использованием свойств действий с числами

Сложение с использованием свойств действий с числами

• Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:

12+63+28=(12+28)+63=40+63=103.

• Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:

549+94= (500+100)+(49-6)=600+43=643.

• Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:

504+497=(500+500)+(4–3)=1000+1=1001 .

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел

• Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится .

Пример:

529 – 435 = (529 - 5) - (435+5) = 524 – 440 = 84

• Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Пример:

785 + 963 = 785 + (963+7) – 7 = 785 + 970 – 7= = 1748

Применение свойств вычитания

• Если из числа вычесть сумму чисел , можно сначала вычесть из этого числа одно слагаемое, а затем, из полученной разности второе слагаемое:

934 – (123 + 634)= (934 – 634) – 123 = 300 – 123 = 177

• Если из суммы чисел вычесть число , можно вычесть его из одного слагаемого и затем к полученной разности прибавить второе слагаемое:

(567 + 148) – 367 = (567 - 367) +148 = 200 +148 = 348

Способ быстрого вычитания

Поразрядное вычитание:

• Если число единиц каждого разряда уменьшаемого больше, то вычитаем поразрядно и результаты складываем.

Пример1:

574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331.

• Если меньше, то занимаем у высшего разряда:

Пример 2:

647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.

Умножение чисел от 10 до 20

Чтобы найти произведение чисел

от 10 до 20 необходимо:

к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1. 16∙18 = (16+8) ∙ 10 + 6 ∙ 8 = 288,

Пример 2. 17 ∙ 19 = (17+9) ∙ 10 + 7 ∙ 9 = =323.

Умножение на 11

• Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11 , надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

• Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10 , надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример :

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение на 22, 33, ..., 99

Чтобы двузначное число умножить на

22, 33, ..., 99, надо:

этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть

44 = 4 · 11 ; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример 1:

24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528

Пример 2 .

23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

Умножение на 5, на 50, на 25, на 125

При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:

a ∙ 5 = a ∙ 10 : 2 a ∙ 50 = a ∙ 100 : 2

a ∙ 25 = a ∙ 100 : 4 а ∙ 125 = а ∙1000:8

1. 17 ∙ 5 = 17 ∙ 10:2 = 170:2 = 85

2 . 43 ∙ 50 = 43 ∙ 100:2 = 4300:2 = 2150

3 . 27 ∙ 25 = 27 ∙ 100:4 = 2700:4 = 675

4 . 96 ∙ 125 = 96:8 ∙ 1000 = 12 ∙ 1000 = 12000

Умножение на 5; 50; 0,5;0,25

• Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2:

138 · 5 = (138 · 10) : 2 = 1380 : 2 = 690.

• Чтобы умножить число на 50 , нужно умножить его на 100 разделить на 2:

87 · 50 = (87 · 100) : 2 = 4350.

• Чтобы умножить число на 0,5, нужно разделить его на 2:

360 · 0,5 = 360:2=180.

• Чтобы умножить число на 0,25 , нужно разделить его на 4:

280 · 0,25 = 280 : 4 = 70

Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125

• Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:

32 · 125 = 32 : 8 · 1000 = 4000.

• Чтобы умножить число на 12,5 , нужно умножить его на 100 и разделить на 8:

24 · 12,5 = 24 : 8 · 100 = 300.

• Чтобы умножить число на 1,25 , нужно умножить его на 10 и разделить на 8:

64 · 1,25 = 64 : 8 ·10 = 80.

• Чтобы умножить число на 0,125 , нужно разделить его на 8.

16,8 · 0,125=16,8 : 8 = 2,1.

Умножение на 1,5; 2,5; 3,5 …

• Чтобы умножить число на 1,5 , надо к данному числу прибавить его половину:

16·1,5 = 16+8= 10+14=24

• Чтобы умножить число на 2,5 , надо умножить его на два и прибавить половину числа:

16·2,5 = 16·2 + 8 = 32+8= 40

• Чтобы умножить число на 3,5 , надо умножить его на 3 и прибавить половину числа:

16·3,5 = 16·3+8=48+8 = 40+16=56

и т.д.

Умножение на число, оканчивающиеся на 5

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило.

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

Примеры:

44 ∙ 5 = (44 : 2) ∙ 5 ∙ 2 = 22 ∙ 10 = 220;

28 ∙ 15 = (28 : 2) ∙ 15 ∙ 2 = 14 ∙ 30 = 420;

32 ∙ 25 = (32 : 2) ∙ 25 ∙ 2 = 16 ∙ 50 = 800.

Умножение на число, оканчивающиеся на 5

При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе второго десятка. Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа:

Примеры :

48 ∙ 65 = (48 : 2) ∙ 65 ∙ 2 = 24 ∙ 130 = (24 ∙ 10 + 24 ∙ 3) ∙ 10 = (240 + 72) ∙ 10 = 312 ∙ 10 = 3120;

36 ∙ 85 = (36 : 2) ∙ 85 ∙ 2 = 18 ∙ 170 = (18 ∙ 10 + 18 ∙ 7) ∙ 10 = (180 + 126) ∙ 10 = 306 ∙ 10 = 3060.

Способы быстрого деления

Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление :

720:45=(720:9):5=80:5=16,

9324:36=(9324:9):4=1036:4=259

945:35 = (945:5):7 = 179:7 = 27

Деление на 5, на 50, на 25

При делении на 5, на 50, на 25 воспользуемся следующими выражениями:

a : 5 = a ∙ 2 : 10

a : 50 = a ∙ 2 : 100

a : 25 = a ∙ 4 : 100

135 : 5 = 135 ∙ 2 : 10 = 270 : 10 = 27

3750 : 50 = 3750 ∙ 2 : 100 = 7500 : 100 =75

6400:25 = 6400 ∙ 4 : 100 = 25600 : 100 = 256

Деление на 0,5; 0,25; 0,125

Чтобы разделить число на 0,5 , нужно это число умножить на 2:

32 : 0,5 = 32 · 2 = 60 + 4 = 64

Чтобы разделить число на 0,25 , нужно это число умножить на 4:

32 : 0,25 = 32 · 4 = 120 + 8 = 128

Чтобы разделить число на 0,125 , нужно это число умножить на 8: 32 : 0,125 = 32 · 8 = 240 + 16 = 256

Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел

• Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей,
• для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают,
• для получения сотен перемножают десятки.

Пример. 62∙58 = 3596

а) 8 ∙ 2 = 16, пишем 6 помним 1.

б) 8 ∙ 6 + 5 ∙ 2 + 1= 59 , пишем 9, помним 5.

в) 5 ∙ 6 + 5 = 35.

Умножение чисел, у которых число десят-ков одинаковое, а сумма единиц равна 10

Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй.

Пример.

204 ∙ 206 = 42024

• 20 ∙ (20+1) = 420 , пишем 420
• 6 ∙ 4 = 24 , пишем 24

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25

Примеры:

• 35² = 3·(3+1), приписать 25, получим 35²= 1225
• 75² = 7·8 , приписать 25 , 75² = 5625
• 85² = 8·925 = 7225
• 45² = 2025

Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Примеры:

5 6 ² = (25+ 6 ), приписать 6² =36 , 56² = 3136

5 8 ² = (25+ 8 ), приписать 8² = 64, 58² = 3364

5 3 ²= (25+ 3 ), приписать 3² = 09, 53² = 2809