Применение производной

МКОУ «Зургановская СОШ»

Решение заданий по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике

Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х 2 + 8х + 6 .

Найдите абсциссу точки касания.

№ 1

Решение:

Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее х о ), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11 ) равен значению производной функции в точке х о :

k = f ′ (x o ) = 4

Производная функции

f ′ (x) = (х 2 + 8х + 6) ′ = 2x + 8 .

Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2х o + 8 = 4 ,

откуда х о = – 2 .

Ответ: – 2.

Прямая у = 3х + 11 является касательной к графику

функции у = x 3 − 3x 2 − 6x + 6 .

Найдите абсциссу точки касания.

№ 2

Решение:

Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх 2 − 6х − 6 = 3 , то есть Зх 2 − 6х − 9 = 0 или х 2 − 2х − 3 = 0 . Это квадратное уравнение имеет два корня: −1 и 3 . Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х 3 − Зх 2 − 6х + 6 имеет угловой коэффициент, равный 3 .

Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая

у = 3х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной.

Значение функции в точке −1 равно у(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8 ,

а значение в точке 3 равно у(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12 . Заметим, что точка с координатами (−1; 8) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8 = −3 + 11 . А вот точка (3; −12) уравнению касательной не удовлетворяет, так как −12 ≠ 9 + 11 .

Значит, искомая абсцисса точки касания равна −1 .

Ответ: − 1.

На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x) , определенной на интервале (–10; 8) . В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение.

№ 3

Решение:

Заметим, что на отрезке [–8; –4]

производная функции

отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит,

наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом

конце отрезка, то есть в точке –4 .

у = f ′(x)

f(x)

–

Ответ: –4.

На рисунке изображен график у = f ′(x)  – производной функции f(x) , определенной на интервале (–8; 8) . Найдите количество точек экстремума функции f(x) , принадлежащих отрезку [– 6; 6] .

№ 4

Решение:

В точке экстремума производная функции

равна 0 либо не существует.

Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–» , либо с «–» на «+» .

у = f ′(x)

+

+

–

–

Ответ: 3.

На рисунке изображен график у = f ′(x)  – производной функции f(x) , определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8) .

№ 5

.

Решение:

Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке

х о = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+» , точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале.

у = f ′(x)

+

–

Ответ: 4.

На рисунке изображен график у = f ′(x)  – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней.

№ 6

Решение:

Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = –2 , а значит нам нужно найти

количество точек, в которых производная функции

f ′(x) = –2 . Для этого на графике производной проведем прямую у = –2 , и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4 .

у = f ′(x)

у = –2

Ответ: 4.

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (–6; 5) . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

№ 7

у

Решение:

Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x) убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции.

Таких точек 6 :

х = −4, х = −3, х = − 2,

х = − 1, х = 0, х = 3 .

у = f(x)

х

– 6

– 4

5

– 1

– 2

0

– 3

3

Ответ: 6.

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале ( – 6; 6) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = – 5 .

№ 8

у

Решение:

Прямая у = − 5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках

k = f ′(х) = 0 .

В нашем случае – это точки экстремума.

Таких точек 6 .

1

у = f(x)

х

0

6

– 6

3

5

6

4

2

у = –5

– 5

Ответ: 6.

0 , так как α – острый угол (tg α 0) . Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25 у = f(x) В α 5 х о α С 4 А Ответ: 1,25. " width="640"

На рисунке изображен график у = f(x)  – производной функции f(x) , определенной на интервале (–7; 5) и

касательная к нему в точке с абсциссой х о . Найдите значение производной функции f(x) в точке х о .

№ 9

Решение:

Значение производной функции

f ′(х o ) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,

проведенной к графику этой функции в данной точке.

В нашем случае k 0 , так как

α – острый угол (tg α 0) .

Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.

Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.

tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25

у = f(x)

В

α

5

х о

α

С

4

А

Ответ: 1,25.

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (–10; 2) и

касательная к нему в точке с абсциссой х о .

Найдите значение производной функции f(x) в точке х о .

№ 10

Решение:

Значение производной функции

f ′(х o ) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной,

проведенной к графику этой функции в данной точке.

В нашем случае k , так как

α – тупой угол (tg α .

Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.

Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC.

tg(180°− α ) = ВС : АС = 6 : 8 = 0,75

tg α = − tg (180°− α ) = −0,75

В

у = f(x)

α

6

х о

180° − α

С

А

8

Ответ: −0,75.

На рисунке изображен график производной у = f ′(x)  –функции f(x) , определенной на интервале (–11; 11) .

Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [ − 10; 10] .

№ 11

.

Решение:

В точке экстремума производная функции

равна 0 либо не существует . Видно, что таких точек

принадлежащих отрезку [−10; 10] пять.

В точках х 2 и х 4 производная меняет знак с «+» на « − » – это точки максимума.

у

у = f ′(x)

+

+

+

– 10

0

–

–

–

х

10

f(x)

х 3

х 2

х 4

х 5

х 1

max

max

Ответ: 2.

Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику функции ах 2 + 34х + 11 . Найдите а .

№ 12

Решение:

Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за х o принять абсциссу точки касания, имеем: 2ах o + 34 = 4 . То есть ах o = –15 .

Найдем значение исходной функции в точке касания:

ах o 2 + 34х o + 11 = –15x o + 34х o + 11 = 19х o + 11 .

Так как прямая у = 4х – 4 – касательная, имеем:

19х o + 11 = 4х o – 4 , откуда х o = – 1 .

А значит a = 15 .

Ответ: 15.

Прямая у = – 4х – 5 является касательной к графику функции 9х 2 + bх + 20 . Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0 .

№ 13

Решение.

Если х о – абсцисса точки касания, то 18x o + b = –4 , откуда b = – 4 – 18х о .

Аналогично задаче №12 найдем х о :

9x o 2 + (– 4 – 18х о ) x o + 20 = – 4х o – 5 ,

9x o 2 – 4x o – 18х о 2 + 20 + 4х o + 5 = 0 ,

– 9x o 2 + 25 = 0 ,

х о 2 = 25/9 .

Откуда x o = 5/3 или x o = –5/3 .

Условию задачи соответствует только положительный корень, значит x o = 5/3 , следовательно b = – 4 – 18 ∙ 5/3 , имеем b = –34 .

Ответ: –34.

Прямая у = 2 х – 6 является касательной к графику функции х 2 + 12х + с . Найдите с .

№ 14

Решение.

Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания х о и приравняем значение производной функции в точке х о угловому коэффициенту касательной.

2х о + 12 = 2 , откуда x o = –5 .

Значение исходной функции в точке –5 равно:

25 – 60 + с = с – 35 , значит с – 35 = 2 ∙ (–5) – 6 ,

откуда с = 19 .

Ответ: 19.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x(t) = 0,5t 2 – 2t – 6 , где x – расстояние от точки отсчета в метрах,

t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с .

№ 15

Решение.

Так как мгновенная скорость точки в момент времени t o , прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t) , равна значению производной функции х npu t = t o ,

искомая скорость будет равна

x ′ (t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2 ,

x ′ (6) = 6 – 2 = 4 м/с.

Ответ: 4.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x(t) = 0,5t 2 – 2t – 22 , где x – расстояние от точки отсчета в метрах,  

t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с ?

№ 16

Решение.

Так как мгновенная скорость точки в момент времени t o , прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t) , равна значению производной функции х npu t = t o ,

искомая скорость будет равна

x ′ (t o ) = 0,5 ∙ 2t o – 2 = t o – 2 ,

Т.к. по условию, x ′ (t o ) = 4 , то t o – 2 = 4 , откуда

t o = 4 + 2 = 6 м/с.

Ответ: 6.

На рисунке изображен график функции у = f(x) , определенной на интервале (–8; 6) .

Найдите сумму точек экстремума функции f(x) .

№ 17

Решение:

Точки экстремума – это точки минимума и максимума.

Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять.

Найдем сумму их абсцисс:

-6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6 .

у = f ′(x)

Ответ: 6.

На рисунке изображен график производной у = f ′(x)  – функции f(x) , определенной на интервале (–10; 8) .

Найдите промежутки возрастания функции f(x) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

Заметим, что функция f(x) возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.

Таких точек 7 :

х = −3, х = −2, х = 3,

х = 4, х = 5, х = 6, х = 7 .

Их сумма:

− 3+( − 2)+3+4+5+6+7 = 20

у = f ′(x)

+

+

3

5

-3

7

Ответ: 20.

Используемые материалы

• ЕГЭ 2012. Математика. Задача В8. Геометрический смысл производной. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. 3-е изд. стереотип. − М.: МЦНМО, 2012. − 88 с.
• http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка заданий по математике 2012 года