"Применение производной"

y = kx + b

к графику дифференцируемой в точке х 0 функции f – это прямая, проходящая через точку (х о ; f(x о )) и имеющая угловой коэффициент f ′ (х о ).

у

f(x o )

y = f(x)

α

х о

х

0

k = f ′(x o ) = tg α –

это угловой коэффициент касательной.

y = f ′(x o )(x – x o ) + f(x o )

1 о Находим значение функции в точке х о : f(x o ) .

2 о Дифференцируем функцию: f′(x) .

3 о Находим значение производной в точке х о : f′(x o ) .

4 о Подставляем эти данные в общее уравнения

касательной: y = f′(x o )(x – x o ) + f(x o ) .

(1)

f(x) ≈ f(x o ) + f ′(x o )∆x

1

(2)

√ 1 + ∆x ≈ 1 + ∆x

2

(3)

(1 + ∆x) n ≈ 1 + n∆x

0 внутри промежутка I, то функция f возрастает на этом промежутке. 2) Если f′(x) внутри промежутка I, то функция f убывает на этом промежутке. 3) Если f′(x) = 0 внутри промежутка I, то функция f постоянна на этом промежутке. Примеры: 1 о f(x) = 3x 3 + 4x f ′(x) = 9x 2 + 4 0  f(x) возрастает при х  R 2 о f(x) = – 2x 5 – 6x f ′(x) = – 10x 4 – 6  f(x) убывает при х  R 3 о f(x) = 12 f ′(x) = 0  f(x) постоянна при х  R " width="640"

1) Если f′(x) 0 внутри промежутка I, то функция

f возрастает на этом промежутке.

2) Если f′(x) внутри промежутка I, то функция

f убывает на этом промежутке.

3) Если f′(x) = 0 внутри промежутка I, то функция

f постоянна на этом промежутке.

Примеры:

1 о f(x) = 3x 3 + 4x

f ′(x) = 9x 2 + 4 0  f(x) возрастает при х  R

2 о f(x) = – 2x 5 – 6x

f ′(x) = – 10x 4 – 6  f(x) убывает при х  R

3 о f(x) = 12

f ′(x) = 0  f(x) постоянна при х  R

Точка х о называется точкой максимума функции f(x) , если существует такая окрестность точки х о , что для всех х ≠ х о из этой окрестности выполняется неравенство f(x) o ) .

Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–» , то х о – точка локального максимума функции f(x).

max

–

+

f ′(x)

x

x o

f (x)

f (x о ) – максимум функции

f(x o ) . Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+» , то х о – точка локального минимума функции f(x). min – + f ′(x) x x o f (x) f (x о ) – минимум функции " width="640"

Точка х о называется точкой минимума функции f(x) , если существует такая окрестность точки х о , что для всех х ≠ х о из этой окрестности выполняется неравенство f(x) f(x o ) .

Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+» , то х о – точка локального минимума функции f(x).

min

–

+

f ′(x)

x

x o

f (x)

f (x о ) – минимум функции

0 и f′(x) . 4 о Полученные данные изображаем на схеме: f ′(x) + – + – x x 1 x 3 x 2 f (x) 5 o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х 1 ] ; [x 2 ; x 3 ] . б) Промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ] ; [x 3 ; + ∞) . " width="640"

1 о Дифференцируем функцию: f′(x) .

2 о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0 .

3 о Решаем неравенства: f′(x) 0 и f′(x) .

4 о Полученные данные изображаем на схеме:

f ′(x)

+

–

+

–

x

x 1

x 3

x 2

f (x)

5 o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х 1 ] ; [x 2 ; x 3 ] .

б) Промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ] ; [x 3 ; + ∞) .

0 и f′(x) . 4 о Полученные данные изображаем на схеме: f ′(x) + – + – x x 1 x 3 x 2 f (x) 5 o a) х 1 ; x 3 – точки максимума; x 2 – точка минимума. б) f(x 1 ) ; f(x 3 ) – максимумы функции; f(x 2 ) – минимум функции. " width="640"

1 о Дифференцируем функцию: f′(x) .

2 о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0 .

3 о Решаем неравенства: f′(x) 0 и f′(x) .

4 о Полученные данные изображаем на схеме:

f ′(x)

+

–

+

–

x

x 1

x 3

x 2

f (x)

5 o a) х 1 ; x 3 – точки максимума; x 2 – точка минимума.

б) f(x 1 ) ; f(x 3 ) – максимумы функции;

f(x 2 ) – минимум функции.

0 и f(x) . Дифференцируем функцию: f′(x) . Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0 . " width="640"

• Находим область определения функции D(f) и множество ее значений Е( f) .
• Определяем четность (нечетность), периодичность функции.
• Находим точки пересечения с осями координат из условий: (0; f (0) ) и f(x)= 0 . x 01 ; x 02 ; x 03 ; …
• Находим промежутки знакопостоянства, решая неравенства f(x) 0 и f(x) .
• Дифференцируем функцию: f′(x) .
• Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0 .

0 и f′(x) . Полученные данные изображаем на схеме: f ′(x) – – + + x x 1 x 3 x 2 f (x) Указываем промежутки монотонности функции а) промежутки возрастания: (– ∞; х 1 ]; [x 2 ; x 3 ] ; б) промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ]; [x 3 ; + ∞) . " width="640"

• Решаем неравенства: f′(x) 0 и f′(x) .
• Полученные данные изображаем на схеме:

f ′(x)

–

–

+

+

x

x 1

x 3

x 2

f (x)

• Указываем промежутки монотонности функции

а) промежутки возрастания: (– ∞; х 1 ]; [x 2 ; x 3 ] ;

б) промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ]; [x 3 ; + ∞) .

• Определяем точки экстремума и сами экстремумы функции:

a) х 1 ; x 3 – точки максимума; x 2 – точка минимума.

б) f(x 1 ) ; f(x 3 ) – максимумы функции;

f(x 2 ) – минимум функции.

• Изображаем все полученные данные в системе координат, строим график функции y = f(x) .

х 0 1 ; x 02 ; x 03 ; x 04 ; f(0) – точки пересечения с осями

(х 1 ; f(x 1 )); (х 2 ; f(x 2 )); (х 3 ; f(x 3 )) – точки экстремумов

Через данные точки проводим плавную кривую

у

f(x 1 )

f(x 3 )

x 2

x 3

x 1

x

x 04

x 03

x 02

x 01

0

f(0)

f(x 2 )

1 о Выясняем существование функции на данном

отрезке [a; b] .

2 о Дифференцируем функцию: f′(x) .

3 о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0 .

4 о Отбираем те точки, которые принадлежат

заданному промежутку [a; b] .

5 о Находим значение функции в этих точках и на

концах промежутка: f(a) ; f(b) ; f(x 1 ) ; f(x 2 ) ; и т. д.

6 о Выбираем среди полученных значений наибольшее

или наименьшее .