Применение производной при решении уравнений, доказательстве неравенств, решении систем

Факультативное занятие: «Применение производной

при решении уравнений, доказательстве неравенств, решении систем»

(Щукина Ирина Павловна, учитель математики высшей квалификационной категории, г.Мончегорск Мурманской области, МБОУ СОШ № 1 имени А.Ваганова)

Цель факультативного занятия: научить применять производную при решении уравнений, доказательстве неравенств, решении систем.

1. При решении уравнений.

Прежде чем приступить к решению уравнений, надо повторить следующую теорему.

Если функция y=f(x) монотонна на своей области определения Е, то уравнение f(x)=C имеет не более одного корня на множестве Е.

Если функции y=f(x) и y=g(x) разной монотонности на промежутке Е, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня на промежутке Е..

№ 1√х+3 + √х+8 =5

Схема:

1. Угадывается 1 или более корней.

2. С помощью производной доказать, что других корней нет или находятся остальные корни.

х = 1 корень

Докажем, что других корней нет.

1 1

y ^ = ( √ х+3 + √ х+8 ) ^ = +  0

2 √ х+3 2 √ х+8

при всех х y ^  0, значит, функция y возрастает на всей области определения, следовательно, уравнение не может иметь более одного корня.

№2. а) Сколько корней имеет уравнение:

х³-3х²+6х-4=0

Решение:

х=1 – корень

Рассмотрим функцию y= х³-3х²+6х-4

y ^=3х²-6х+6=3(х²-2х+1)+3=3(х-1)²+30

при всех значениях х функция возрастает на всей области определения, значит корень единственный.

б ) √ х-1 + √ х+4 + √ 3х+1 =9

х=5 - корень

1 1 3

y ^ = + +  0

2 √ х-1 2 √х+4 2√3х+1

функция возрастает при всех значениях х, значит, 5 – единственный корень.

в ) √ 4х+1 + √ х-2 =1

2 1

y ^ = +  0

√ 4х+1 2 √ х-2

функция возрастает на ОДЗ:  2; + )

y(2)=3 уравнение корней не имеет, т.к. 13, а 3 – наименьшее значение функции в силу ее возрастания.

1. Доказательство неравенств.

№1. Какое из 2-х чисел больше:

1 1

2 006 - или 2007 -

√ 2007 √ 2006

Решение:

Попытаемся ввести вспомогательную функцию

1 1

2 006 - 2007 -

√ 2007 √ 2006

1 1

2 006 + 2007 +

√ 2006 √ 2007

Рассмотрим функцию

1

y = х + при х  1

х

Исследуем ее на монотонность

1

y ^ = 1 -

2 √ х³

При х  1 y ^  0, значит, функция возрастает при х  1

у (2006)  y (2007)

1 1

2 006 +  2007 + , значит,

√ 2006 √ 2007

1 1

2 006 -  2007 -

√ 2007 √ 2006

№2. Сравнить:

а) е^π и π^е

Рассмотрим функцию

ln х

y ^ = , исследуем ее на монотонность и экстремумы, D(y) = (0; + )

х

(ln х) ^х - ln х х^ 1 - ln х

y ^ = = ;

х² х²

1 - ln х

= 0, х = l

х²

+ -

0 l х

х =еl единственная точка экстремума на промежутке (е; + )

это точка максимума, функция достигает в ней наибольшее значение,

т. к. π∈ (е; + ), l  πи функция убывает на этом промежутке, значит,

ln е ln π

 , следовательно π lnе  е ln π

е π

ln е^π  ln π^е

е^π  π^е

1. Решение систем.

х + sin х = y + sin y

х² + х y + y² = 12

Рассмотрим функцию: y = t + sin t

y ^ = 1 + cos t; y ^  0, значит, функция возрастающая, тогда

х + sin х = y + sin y х = y, следовательно, 3х² = 12, х =  2

Ответ: ( 2;  2)

Литература:

МШ – 2 -84

МШ – 3,6-77 (Балка М.Б., Писарева)

МШ – 5,6-80

МШ 2-95

Зильберберг Н.И. «Алгебра и начала анализа в 10 классе».