Применение производной в различных областях

СПб ГБПОУ «Академия машиностроения им. Ж. Я. Котина»

Применение Производной в различных областях

Подготовила

Студентка группы ПСО 120:

Подпругина В.В.

Преподаватель: Щадин А.В.

Санкт-Петербург 2021

Определение Производной

• Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю;
• Действие нахождения производной называется её дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

История появления

• В конце 12 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что Путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых : физикой, химией, биологией и техническими науками.
• Немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц сформулировал геометрический смысл производной.
• Термин производная и современные обозначения y’, f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г.

Исаак Ньютон

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Жозеф Луи Лагранж

Физический смысл Производной

• Если точка движется вдоль оси x и её координаты изменяются по Закону x (t), то мгновенная скорость точки:

v (t)=x’ (t)

Геометрический смысл Производной

• Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y= f (x) в этой точке:

• Уравнение касательной к графику функции y= f (x) в точке x0:

Производная в Алгебре

• Касательная к графику функции;
• Поиск промежутков возрастания и убывания функции;
• Поиск точек экстремума функции;
• Поиск промежутков выпуклости и вогнутости функции (рис.1 и рис.2);
• Поиск точек изгиба функции (рис.3).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым ,  если график этой функции в пределах интервала  лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым ,  если график этой функции в пределах интервала  лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

рис.3

Производная в физике

• Скорость как производная пути:

• Ускорение как производная скорости:

• Скорость распада радиоактивных элементов:

= - λN

a =     

Применение производной в Химии

Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно - производственной деятельности. V (t) = p ‘(t)

Количество вещества в момент времени t0

p = p(t 0)

Функция

Интервал времени

∆ t = t– t0

Приращение аргумента

Изменение количества вещества

∆ p= p(t0+ ∆ t ) – p(t0)

Приращение функции

Средняя скорость химической реакции

∆ p/∆t

Отношение приращения функции к приращению аргумента.

Производная в Биологии

• Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Р = х‘ (t)

Производная в Географии

Производная помогает рассчитать:

• Некоторые значения в сейсмографии;
• Особенности электромагнитного поля Земли;
• Радиоактивность ядерно-геофизичеcких показателей;
• Многие значения в экономической географии.

Электромагнитное поле Земли

Производная в Электротехнике

В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В  цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

В электротехнике в основном используется работа переменного тока.

Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.

Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.

Производная в Экономике

Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление – аппарат для экономического анализа. Базовая задача экономического анализа – изучение связей экономических величин в виде функций.

Производная в экономике решает важные вопросы:

1. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?

2. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при увеличение цены на её продукцию?

Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных, которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.

Также с помощью экстремума функции (производной) в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки.

Таможенная пошлина

Вывод

Производная успешно применяется при решении различных прикладных задач в науке, технике и жизни. Как видно из вышеперечисленного применение производной функции весьма многообразно и не только при изучении математики, но и других дисциплин. Поэтому можно сделать вывод, что изучение темы: «Производная функции» будет иметь своё применение в других темах и предметах.

Источники

► https://infourok.ru/primenenie-proizvodnoy-v-razlichnih-oblastyah-nauki-1502745.html

► https://yandex.ru/images/search?text=Таможенные%20пошлины&from=tabbar

► https://yandex.ru/images/search?text=Электромагнитное%20поле%20Земли&from=tabbar