Применение степенной, показательной и логарифмической функций

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 1 г. Кемь

Учебный проект

«Применение степенной, показательной и логарифмической функций

при решении прикладных задач»

Авторы проекта:

учащиеся 10 «б» класса

Аверков В., Алькина В.,

Давыдов Т., Мелехов С.,

Дементьев Д., Зайцева Т.,

Смолин Денис, Смолин Даниил.

Руководитель проекта:

Догоняева Т. В.

г. Кемь

2016

“ Весь наш предшествующий опыт приводит к убеждению, что природа является осуществлением того, что математически проще всего представить”.

А. Эйнштейн

Цель: выявить науки и области человеческой деятельности, в которых степенная, показательная и логарифмическая функции нашли свое практическое применение.

Задачи:

• Дать определение и сформулировать свойства степенной, показательной и логарифмической функций, взаимно обратных функций на примере показательной и логарифмических функций;
• Найти сведения из истории развития степенной, показательной и логарифмической функций, узнать имена великих математиков, которые занимались изучением этих функций;
• Рассмотреть применение степенной, показательной и логарифмической функций в точных и естественных науках;
• Рассмотреть применение функции при решении прикладных задач, предложенных в учебнике «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс (базовый и профильный уровни), авторы: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева и др. и решить эти задачи.

Гипотеза: существует процессы во многих сферах жизни человека, которые описываются степенной, показательной и логарифмической функциями.

Общий вид степенной функции

p=2n - четное

натуральное число

p=2n-1-нечетное

натуральное число

Общий вид степенной функции

p= -2n

n - натуральное число

p= -(2n-1)

n - натуральное число

1, m-нецелое число p= m , mm -нецелое число p= m , 0 m - нецелое число " width="640"

Общий вид степенной функции

P=m, m 1,

m-нецелое число

p= m , m

m -нецелое число

p= m , 0

m - нецелое число

Из истории степенной функции

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Высокого уровня математические знания достигли в Древнем Вавилоне. Для облегчения вычислений вавилоняне составили таблицу обратных значений чисел квадратов и кубов и даже таблицы для сумм квадратов и кубов числа. Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции применяется явно и вполне сознательно.

Вавилонская табличка (около 1800–1600 г. до н. э.) с вычислением 

Из истории степенной функции

Учение о степенных функциях, вида y = х р развивалось параллельно с расширением понятия степени.

Благодаря методу координат, разработанному Рене Декартом, между алгеброй и геометрией линий в математике была установлена тесная связь. Алгебраические уравнения Декарт рассматривал как зависимость z от x, определяющую расположение точек на плоскости zOx. Известно, что при введении неизвестных Декарт первой использовал букву z, затем у или х, поэтому уравнение параболы он записывал z 2 =x.

Декарт и Ферма часто пользовались в своих научных поисках параболой и окружностью для нахождения на плоскости корней уравнений высоких степеней, упрощая поиск введением вспомогательных кривых более низкого порядка.

Рене

Декарт

(1596-

1650гг.)

Пьер

Ферма (1602-

1665гг.)

Из истории степенной функции

График функции у=х 3 как известно называется кубической параболой. Эту кривую французский математик, родоначальник начертательной геометрии Г.Монж

(1746-1818 г. г.), использовал для нахождения действительных корней кубических уравнений.

Гаспар Монж

Применение степенной функции

Вращающийся сосуд с жидкостью

Падения мяча

Траектории струй воды

Солнечная электростанция

Применение степенной функции

Физика.

График равноускоренного прямолинейного движения

Потенциальная энергия.

Применение степенной функции

Параболы широко используются в технике:

существуют специальные параболические зеркала

Применение степенной функции

Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию, например, Объем куба V зависит от длины ребра х и выражается формулой V=x 3 , период Т колебаний математического маятника зависит от длины нити L и эта зависимость выражается формулой:

Применение степенной функции

Применение степенной функции

С помощью гиперболических функций описывается прогиб каната, зона слышимости звука пролетающего самолета

Применение степенной функции

кубическая парабола применяется, например, при конструировании железных дорог – как «вставка», смягчающая крутой поворот рельс от прямого участка к круговому участку пути.

Применение степенной функции

Биология.

График функции: «Развитие организма»

ЗАДАЧА 22 стр. 176

1 . Построить схематически график изменения веса тела, как функции его расстояния от центра Земли, предполагая, что на поверхности Земли вес

тела равен 100 кг.

R: из условия р=k/(h*h) и , р(6400)=100 получим k=64 2  10 6 , тогда P=(64 2  10 6 )/(h*h) 3) Построим таблицу значений функции Р(h), используя для этого программу Excel Расстояние от центра Земли, h Вес тела, P 0 0 1600 3200 25 4800 50 75 6400 100 8000 9600 64 11200 44 33 12800 25 Из таблицы видно, что тело будет иметь одинаковый вес на расстоянии 1600 км и на расстоянии 12800 км от цента Земли. Чтобы найти расстояние от поверхности Земли, нужно:12800-6400= 6400 км . Ответ: тело будет иметь тот же вес что и на расстоянии 1600 от центра Земли , если оно будет находиться на расстоянии 6400 км от поверхности Земли " width="640"

2. Вычислить, на каком расстоянии от центра Земли, но над ее поверхностью , тело будет иметь тот же вес что и на расстоянии 1600 от центра Земли? Диаметр равен 12800 км.

Решение: 1) Так как вес тела на поверхности Земли (h=6400 км) равен 100 кг, то зависимость задается формулой P=1/64*h (k=1/64) при h

2)Найдем теперь k при hR: из условия р=k/(h*h) и , р(6400)=100 получим k=64 2  10 6 , тогда P=(64 2  10 6 )/(h*h)

3) Построим таблицу значений функции Р(h), используя для этого программу Excel

Расстояние от центра Земли, h

Вес тела, P

0

0

1600

3200

25

4800

50

75

6400

100

8000

9600

64

11200

44

33

12800

25

Из таблицы видно, что тело будет иметь одинаковый вес на расстоянии 1600 км и на расстоянии 12800 км от цента Земли. Чтобы найти расстояние от поверхности Земли, нужно:12800-6400= 6400 км .

Ответ: тело будет иметь тот же вес что и на расстоянии 1600 от центра Земли , если оно будет находиться на расстоянии 6400 км от поверхности Земли

Задача 23 стр.176

1. Схематически график изменения веса тела человека при подъёме на расстояние, равное 0, R, 2R, 3R…, где R – радиус Земли, вес тела 50 кг на уровне моря, будет выглядеть следующим образом:

2. Вычислить, на какой высоте над поверхностью Земли вес тела уменьшится вдвое

Решение:

1)Так как вес уменьшится вдвое, то составим выражение

2)Вследствие упрощения получаем такое выражение

Следовательно h  2650 км

ОТВЕТ: 2650 км

0, а  1, a –число, x-переменная Свойства функции 1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел R. 2) Множеством значений функции являются все положительные числа, т.е. промежуток                                 3) Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. 4) Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид. 5) Функция непериодическая. 6) График функции пересекает координатную ось Oy в точке (0; 1). 7) Функция не имеет нулей. 8) При a1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 09) Функция принимает положительные значения на всей области определения. " width="640"

Показательная функция имеет вид y=a x , где а0, а  1, a –число, x-переменная

Свойства функции

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел R.

2) Множеством значений функции являются все положительные числа, т.е. промежуток                                

3) Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.

4) Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.

5) Функция непериодическая.

6) График функции пересекает координатную ось Oy в точке (0; 1).

7) Функция не имеет нулей.

8) При a1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0

9) Функция принимает положительные значения на всей области определения.

Первое появление показательной функции

Впервые использование неизвестного числа в показателе степени можно найти в переписке немецкого физика, математика и философа Г. Лейбница и голландского ученного Х. Гюйгенса, которая состоялась в 1679 г.

Христиан Гюйгенс

(14.04.1629-08.07.1695)

Готфрид Лейбниц

(1646-1716)

В XVII в. Европейские математики еще не имели строгой теории действительных чисел, поэтому могли изучать лишь отдельные части функции.

В начале XVIII века были получены разложения всех стандартных функций и многих других. Благодаря, в основном, Эйлеру (1748) были уточнены их определения. Эйлер впервые ясно определил показательную функцию, а также логарифмическую как обратную к ней, и дал их разложения в ряд. 

Только в XIX в., когда с помощью теории пределов удалось ввести понятие степени с действительным показателем, возможным стало и строгое обоснование всех свойств показательной функции.

Дальнейшее развитие показательной функции

Леонардо Эйлер

(15.04.1707- 18.09.1783)

Примеры явлений, протекающих по законам показательной функции

БИОЛОГИЯ:

Количество бактерий N в определенной среде за время t вычисляется по формуле

N=N 0 a kt

где N 0 - начальное количество бактерий, а и k – некоторые постоянные.

Показательная функция в науке БИОЛОГИЯ

Примером быстрого размножения бактерий является процесс изготовления дрожжей, при котором по мере их роста производится соответствующая добавка перерабатываемой сахаристой массы.

Увеличение массы дрожжей выражается показательной функцией

m= m 0 (1,2) t ,

где m 0 – масса дрожжей в процессе дрожжевания. Вычислим m, если m 0 =5 кг, и t=2 ч.

Решение.

Вычислим массу дрожжей в процессе дрожжевания:

m = 5 * (1,2) 2 = 7,2 кг

Ответ : 7,2 кг

Примеры явлений, протекающих по законам показательной функции

ФИЗИКА: Изменение атмосферного давления p в зависимости от высоты h над уровнем моря описывается по формуле:

p=p 0 a h

где p 0 – атмосферное давление над уровнем моря, a – некоторая постоянная.

Примеры явлений, протекающих по законам показательной функции

ФИЗИКА: При создании вакуума конечное давление p в определенной емкости связано с начальным давлением p 0 формулой:

где V – объем газа, подлежащий откачиванию,

q – объем газа, откачиваемый за один шаг насоса,

n – количество шагов поршня насоса за единицу вакуумирования,

t – время вакуумирования

Задача № 18 стр. 216

На некотором лесном участке можно заготовить 4*10 5 м 3 древесины, Ежегодный прирост деревьев равен 4%. Сколько можно заготовить древесины на этом участке через 5 лет?

Решение

По формуле ,где n – количество лет, – сколько древесины можно заготовить за 1 год, р – ежегодный прирост (%), найдем сколько древесины можно заготовить за 5 лет.

Подставим данные значения:

Ответ: 486000 кубических метров древесины можно заготовить на этом участке через пять лет.

А= 4*10 5 *(1+0,04) 5 =4,86*10 5 м 3

На графике показательной функции наблюдается прирост заготовок древесины в течение 25 лет

Количество лет, n

Количество древесины A, куб. м.

0

400000

5

486661,2

10

592097,7

15

720377,4

20

25

876449,3

1066335

А= 4*10 5 *(1,04) n

Задача стр. 213

Изменение массы радиоактивного вещества

происходит по формуле   m(t) = m 0 ( ,  

где m  0   – масса вещества в начальный момент  t = 0 ,  m   – масса вещества в момент времени   t ,  T   – период полураспада(промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).      

Задача стр. 213

Период полураспада плутония T=140 суткам. Построим график радиоактивного распада плутония и определим, какой станет масса m плутония через 10 лет, если его начальная масса m 0 =8 г?

График будет задаваться функцией m=8*(0,5) t/140

Составим таблицу зависимости массы плутония (m) в граммах от времени (t) в днях.

T, дни

0

m , граммы

140

8

280

4

420

2

560

1

700

0,5

3500 (10 лет)

0,25

1,1345  10 -7

График показывает, что изменение массы плутония происходит по свойству показательной функции с основанием, меньшим 1

Ответ: Через 10 лет масса плутония будет равна m  0,00000011345 грамма.

Задача стр. 213

В 1772 году немецкий астроном И. Э. Боде (1747-1826) составил следующую таблицу:

№ п/п

Планета

1

Расстояние(L) до Солнца (в астрономических единицах)

Меркурий

2

0,4

Венера

3

0,7

Земля

4

5

1

Марс

1,5

6

Юпитер

7

5,2

Сатурн

9,5

К тому времени были известны только перечисленные в таблице 6 планет. Боде оставил в таблице 5 пустое место, так как полагал, что n-я планета находится на расстоянии L= и что 5 планета еще не обнаружена.

Задача стр. 213

Теперь вычислим расстояния данных планет до

солнца(L) по формуле Боде: L=

№ п/п

Планета

1

L (а. е.)

Меркурий

2

Венера

0,55

3

0,7

Земля

4

Марс

1

5

6

Неизвестная планета

1,6

Юпитер

2,8

7

5,2

Сатурн

10

Функциональная зависимость, выраженная формулой Боде: L=

задается графиком вида:

Задача стр. 213

Теперь сравним вычисленные значения по формуле Боде и действительные расстояния от планет до Солнца:

Расстояние(L) до Солнца(в астрономических единицах)

0,4

0,7

1

1,5

5,2

9,5

№ п/п

Планета

1

L (а. е.) вычисленное

2

Меркурий

Венера

3

0,55

4

Земля

0,7

Марс

1

5

6

1,6

Неизвестная планета

Юпитер

7

2,8

Сатурн

5,2

10

Вывод: 1) Формула достаточно точна, особенно для Венеры, Земли и Юпитера.

2) Между Марсом и Юпитером нет планеты. На ее месте был обнаружен пояс астероидов

y = x

Если функция y=f(x) принимает каждое своё значение только при одном значении x, то такую функцию называют обратимой.

y

Из определения обратной функции следует, что область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции .

0

x

Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой y=x.

0, поэтому область определения функции y = log a (x) является множество x0; ось Ox является горизонтальной асимптотой графика функции y=a x , а ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = log a (x); функция y=a x возрастает при a1, поэтому функция y=log a (x) также возрастает при a1. " width="640"

Функции y = log a (x) и y=a x так же взаимно обратны, и свойства одной из них можно установить, зная свойства другой. Например, множеством значений функции y=a x является множество y0, поэтому область определения функции y = log a (x) является множество x0; ось Ox является горизонтальной асимптотой графика функции y=a x , а ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = log a (x); функция y=a x возрастает при a1, поэтому функция y=log a (x) также возрастает при a1.

0, a  1 . Возрастающая: Убывающая: 0 " width="640"

Логарифмическая функция

это функция вида y = log a x,

где a – заданное число, a0, a  1 .

Возрастающая:

Убывающая:

0

ИЗ ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал

на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной

таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'.

Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Логарифмом числа x называют показатель степени y, в которую надо возвести некоторое фиксированное число a, чтобы получить исходное число x: a y =x . Записывают: y = log a x.

Джон Непер

Уже спустя 5 лет, в 1619 г., лондонский учитель математики Джон Спайделл переиздал таблицы Непера, преобразованные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов (хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил). Термин «натуральный логарифм» предложил итальянский математик Пьетро Менголи в середине XVI века.

ИЗ ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ

Пьетро Менголи

ИЗ ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред  изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов служившую незаменимым расчётным орудием инженера. С помощью этого компактного инструмента можно быстро производить все алгебраические операции, в том числе с участием тригонометрических функций. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.

ИЗ ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ

Законченный вид теории логарифмической функции придал выдающийся математик XVIII в. Л. Эйлер (1707 – 1782). Отметим, что значительную часть своей жизни Эйлер, сын небогатого пастора из Базеля, провёл в России, приняв в 1727 г. приглашение работать в только что организованной в Петербурге Академии наук. Ему принадлежат общие определения показательной и логарифмической функций как взаимно обратных, а также введение числа e. Развитие теории логарифмических функций после Эйлера происходило в основном в рамках математического анализа.

Л. Эйлер (1707 – 1782)

ИЗ ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ

В ХХ веке Владимир Модестович Брадис придумал способ, позволяющий до минимума сократить утомительные расчеты. Выбрать наиболее необходимые для инженерных расчетов функции, один раз посчитать их значения с приемлемой точностью в широком интервале аргументов. А результаты расчетов представить в виде таблиц.

Кропотливых расчетов В.М. Брадису предстояло проделать много. Но они экономили массу времени всем последующим пользователям его таблиц.

Владимир Модестович

Брадис

Эти таблицы стали советским бестселлером. С 1930 года их издавали едва ли не ежегодно в течение тридцати лет. Эту книжку читали миллионы. Школьники, студенты, инженеры – таблицы Брадиса были у всех.

Логарифмическая функция в науке

«Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления»

Колмогоров. А.Н

Логарифмическая функция применяется в разных науках:

• Разделы физики

• Макроскопическая физика Механика Термодинамика Оптика Акустика Электродинамика Микроскопическая физика Статистическая физика Физика конденсированных сред
• Макроскопическая физика
• Механика
• Термодинамика
• Оптика
• Акустика
• Электродинамика
• Микроскопическая физика
• Статистическая физика
• Физика конденсированных сред

• Физика твёрдого тела Физика атомов и молекул Физика наноструктур Квантовая физика Ядерная физика Физика высоких энергий
• Физика твёрдого тела Физика атомов и молекул Физика наноструктур
• Физика твёрдого тела
• Физика атомов и молекул
• Физика наноструктур
• Квантовая физика
• Ядерная физика
• Физика высоких энергий
• Физика элементарных частиц
• Сейсмология — шкала Рихтера
• Химия –активность водородных ионов
• Теория музыки — нотная шкала, по отношению

к частотам нотных звуков.

• История — логарифмическая шкала времени

Логарифмическая функция в науке

Широкое применение нашла логарифмическая функция в астрономии :

Например по ней изменяется величина блеска звезд.

Одно из наиболее важных понятий акустики — тон, представляющий собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, человеческого голоса или других источников звука. Мы слышим звук во время одновременного действия нескольких тонов, частоты которых находятся в простых целочисленных отношениях. Сами звуки различаются по высоте, которая зависит от частоты колебаний струны. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, надо начать с описания уха

Логарифмы «на слуху» и в ухе

Схема строения уха человека:

1 — наружный слуховой проход; 2 — барабанная перепонка; 3 — полость среднего уха (барабанная полость); 4 — молоточек; 5 — наковальня; 6 — стремечко; 7 — полукружные каналы; 8 — преддверие; 9 — улитка; 10 — овальное окно; 11 — евстахиева труба.

Рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части действительно напоминает улитку. Она напоминает спирально закрученную трубку. Контур «улитки» можно соотнести с логарифмической спиралью в математике.

Логарифмическая функция в науке

Плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек  О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота; логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом a все прямые, выходящие из полюса.

Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был

Рене Декарт

Спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими. Раковины наутилуса и улитки …

а так же рога таких млекопитающих как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали . ..

Семечки в подсолнухе

расположены

по дугам, так же близким к

логарифмической спирали … .

.

… .паутина, сплетаемая одним из наиболее распространенных пауков

Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали.

Логарифмическая функция в науке: ХИМИЯ

Все из нас неоднократно встречались с пометкой pH на моющих средствах.

В химии эту пометку принято называть водородным показателем .

За что же он отвечает?

Водородным показателем pH называется отрицательный десятичный логарифм концентрации ионов водорода. Переводя на доступный язык, можно сказать, что с помощью водородного показателя определяется уровень кислотности среды.

Логарифмическая функция в науке: БИОЛОГИЯ

 

Задача: В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч

после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду

следует ожидать колонию в 500 бактерий?

Решение.

q=8, t=2, p=100/8, B=500.

Значит, требуемое время соответствует значению выражения

, то есть примерно через 3 ч. 15 мин

Логарифмическая функция в науке: ХИМИЯ

С помощью логарифмов ученые научились определять точный возраст ископаемых пород и животных. Наиболее распространен радиоуглеродный анализ.

На примере задачи попытаемся понять суть этого метода.

Задача

Известно, что соотношение между углеродом C 12 и его радиоактивным изотопом C 14 во всех живых организмах постоянно. Период полураспада углерода C 14 составляет 5760 лет. Определите возраст остатков мамонта, найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание изотопа C 14 в них составляет 26% от его количества в живом организме.

Решение.

Пусть изначально изотопа C 14 было m, получим q = m, t = 5760, p = 1/2, B = 0,26m, и значит,

ОТВЕТ: Возраст останков мамонта составляет примерно 11200 лет.

Логарифмическая функция в науке: ГЕОГРАФИЯ

Для планирования развития городов, других населенных пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчеты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперед. Покажем, как в таких расчетах применяются логарифмы. 

Задача (№ 62 стр. 239)

Численность населения Петрозаводска в 2013 году составила 268 946 человек, а в 2014 году составила 272 101 человек. Через сколько лет население этого города увеличится в 1,5 раза?

(Данные количества жителей города Петрозаводска взяты из федеральной службы государственной статистики. Официальный сайт службы Росстата  www.gks.ru  . Так же данные были взяты с единой межведомственной информационно-статистической системы, официальный сайт ЕМИСС  www.fedstat.ru  )

Решение :

 

Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: . Примем население города, которое было, за а = 268 946, тогда А = 272 101 – это население, которое стало, х -неизвестно.

р= ( %

Сделав подстановку в формулу, получим 268 9461,5 =

Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его.

xlg1,0117=lg1,5, откуда x =lg 1,5 /lg1,0117. Найдя по таблице lg1,5 и lg1,0117 , получим

x=0,18/0,005≈36.

Ответ : примерно через 36 лет

Логарифмическая функция в науке: ЭКОНОМИКА

Широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике . Например, капитал, приносящий 5% , увеличивается ежегодно в 1,05 раза – не слишком впечатляющее возрастание, но если рассматривать его на промежутке в несколько лет , а также рассматривать размер этой суммы через более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным .

ЗАДАЧА (стр. 238): Как известно, двухпроцентный вклад в сбербанк, равный а рублям, через n лет становится равным a (1,02) n , а трехпроцентный вклад становится равным а (1,03) n (по формуле сложных процентов)Через сколько лет каждый из вкладов удвоится?

Решение:

1) Для первого вклада 2 а = а (1,02) n , откуда (1,02) n = 2, n =log 1,02 2. Проведя вычисления на микрокалькуляторе, получим log 1,02 2  35,002788.

2) Для второго вклада n = log 1,03 2. Вычисления на микрокалькуляторе показывают, что log 1,03 2  23,449772.

Ответ : по первому вкладу примерно через 35 лет, а по второму – через 23,5 года.

Графическая интерпретация решения задачи

Во сколько раз увеличится вклад, К

1

Количество лет при двухпроцентном вкладе, N = log1,02K

0

Количество лет при трехпроцентном вкладе, N = log1,03K

2

35

3

0

4

55,5

23,4

70

5

37,2

46,9

81,3

54,4

При трехпроцентном вкладе, N = log 1,03 K

При двухпроцентном вкладе, N = log 1,02 K

Задача № 68 стр. 240:

Для приближённого вычисления значения числа e используется формула:

e 

Для вычисления e предлагается использовать микрокалькулятор, но для его вычисления можно использовать язык Паскаль .

program prog;

var e,c: real; n,i: integer;

begin

e:=2; c:=1;

readln(n);

for i:=1 to n-1 do begin

c:=c*1/(i+1);

e:=e+c;

end;

writeln('e=',e); end.

ВЫВОД

Задавшись целью выявить науки и области человеческой деятельности, в которых степенная, показательная и логарифмическая функции нашли свое практическое применение и определив задачи (найти сведения из истории развития степенной, показательной и логарифмической функций, узнать имена великих математиков, которые занимались изучением этих функций; рассмотреть применение степенной, показательной и логарифмической функций в точных и естественных науках) мы провели исследовательскую работу и выяснили, что степенная, логарифмическая и показательная функции имеют прикладное значение в следующих областях естествознания: физике, химии, биологии, географии, астрономии, экономике. Еще мы решили наиболее важные на наш взгляд задачи практического содержания, в которых нашли применение степенная, логарифмическая и показательная функции и их свойства.

Источники

1. Учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс (базовый и профильный уровни), авторы : Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева и др, М.-Посвещение, 2010-368 с.;

2. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. 11 кл. :Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.- 11-е изд.,стереотип.-М.:Мнемозина, 2004.-288 с.: ил.

3.Самсонов П.И. Математика: Полный курс логарифмов. Естественно – научный профиль.-М.:Школьная Пресса, 2005.-208 с. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 32.)

4.Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. -М. :Школа-Пресс,1998.-160 с.:ил. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 7.)

5.Математика для школьников, №3,4 2010.4

6. https :// ru.wikimedia.org ;

7. https :// www.google.ru .