Признаки делимости

Признаки делимости.

Выполнили ученицы 6 «А» класса: Хабарова Анастасия и Тафинцева Александра

Цель проекта:

Обобщить, расширить и систематизировать знания по теме «Признаки делимости»

Задачи:

• Изучить историю математики о делимости чисел
• Узнать признаки делимости на натуральные числа от 2 до 25
• Исследовать признаки делимости при решении цифровых головоломок и практических задач

Гипотеза

Признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач

Введение

• Мы заинтересовались историей делимости чисел.
• Кто из древних учёных занимался делимостью чисел? Кто такой Эратосфен? Что такое решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число?
• На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на 2,3,5, 9 и на 10. Но оказывается, признаков делимости гораздо больше. Есть признаки делимости на 4, 8,11,13,7 и другие числа. Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач.

ЭРАТОСФЕН (около 275–194 до н. э.), один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами - ему принадлежат интересные исследования в области математики, астрономии  и других  наук . Трактаты Эратосфена были посвящены решению  геометрических  и арифметических задач.

Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое «решето», с помощью которого находятся простые числа.

Решето Эратосфена

• Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а "выкалывали" цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название "решето Эратосфена".

При́знак дели́мости  —  алгоритм , позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному [1] . Если признак делимости позволяет выяснить не только  делимость  числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют  признаком равнодостаточности .

Признаки делимости, изученные на уроках математики Признак делимости на 2. Число делится на  2 только тогда , когда его последняя цифра делится на 2, то есть является  чётной . Признак делимости на 3. Число делится на  3 , когда сумма его цифр делится на 3. Например, число 285 делится на 3, поскольку сумма его цифр 2 + 8 + 5 = 15 делится на 3. Признак делимости на 5. Число делится на  5 только тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5. Признак делимости на 9. Число делится на  9 , когда сумма его цифр делится на 9. Признак делимости на 10. Число делится на  10  тогда и только тогда, когда оно оканчивается на  ноль .

Признаки делимости на 4. Признак делимости на 4. Число делится на  4 , когда две последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4. Например, 14676 — последние цифры 76, и число 76 делится на 4: 76:4=19.

Признаки делимости на 6. Признак делимости на 6. Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Примеры: 642, 1584

Признаки делимости 7 и 8. Признак делимости на 7. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков делится на 7. Пример: 259:7, т. к. 25-(2∙9) = 7, 7:7 Признак делимости на 8. Число делится на 8, когда три последние цифры составляют число, делящееся на 8. Пример: 6136 : 8, т.к. 136:8.

Признак делимости на 11.

• Признак делимости на 11.
• Число делится на 11 тогда и только тогда, если модуль разности суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11
• Пример:  100397 делится на 11, т. к. .
• 1+0+9=10; 0+3+7=10; │10 - 10│=0 

Признак делимости на 12 ,14, 15

• Признаки делимости на 12. Число делится на 12 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 4.

Пример: 72 0  :12, т. к. число делится и на 3, и на 4.

• Признаки делимости на 14. Число делится на 12 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 2, и на 7

Пример: 420 : 14, т.к. число делится и на 2, и на 7.

• Признаки делимости на 15. Число делится на 15 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 5.

Признаки делимости на 13 и 17. Признак делимости на 13. Число делится на  13 , когда сумма числа десятков с учетверенной цифрой в разряде единиц делится на 13. Пример: 845:13, т. К. 84 - 9∙5 = 39, а 39:13 Признак делимости на 17. Число делится на  17  тогда: когда модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой в разряде единиц делится на 17.

Признаки делимости на 19 и 20. Признак делимости на 19. Число делится на  19   только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенной цифрой в разряде единиц делится на 19. Пример:    646 : 19, так как на 19 делятся и 64+2∙6=76 Признак делимости на 20. Число делится на  20 только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20. Другая формулировка: число делится на 20 только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну  детскую  за 3543  золотые монеты . Известно, что детская путевка на 500 золотых  монет  дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

• Решение.
• 3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3

Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей. Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер. Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер?

• Решение.
• Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7. НОД (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420
• Ответ: 1 раз в 420 дней.

Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег  у него нет?

Решение

Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, - это 498.

Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200, 200+198=398, 398-300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.

Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов, у него останется на счету 404 доллара. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300, в результате он снимет 2доллара, и у него останется 498 долларов.

Заключение

В результате выполнения данной работы у нас расширились знания по математике. Мы узнали, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняли, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Познакомившись с признаками делимости чисел, мы считаем, что полученные знания сможем использовать в своей  учебной деятельности , самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Считаем, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий интеллектуальных конкурсов. В современном мире тоже используют признаки делимости! Например, в банковском деле, при денежных расчетах в магазине.