Признаки делимости чисел

«Признаки делимости»

ПРИЗНАК ПАСКАЛЯ И ЕГО ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

Блэз Паскаль (19.6.1623— 19.8.1662) – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования [2].

  Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число (трактат «О характере делимости чисел»)[3].

Чтобы узнать, делится ли число А на число В, не всегда нужно выполнять письменно деление. В некоторых случаях это можно узнать по десятичной записи чисел. Пусть есть натуральное число записываемое в десятичной системе как ,  где — единицы, — десятки и т. д.

Пусть — произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него.

Находим ряд остатков по следующей схеме:

— остаток от деления на

— остаток от деления на

— остаток от деления на

…

— остаток от деления на .

Формально:

Так как остатков конечное число (а именно ), то этот процесс зациклится (не позже, чем через шагов) и дальше можно его не продолжать: начиная с некоторого , где — получившийся период последовательности . Для единообразия можно принять, что .

Тогда имеет тот же остаток от деления на , что и число

[1].

В энциклопедиях признак Паскаля описывают следующим образом:

• Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системы счисления (обычно десятичной)[3].

• Признак Паскаля — универсальный признак делимости, позволяющий для любых целых a и b определить, делится ли a на b [1].

Основные частные случаи

Признак делимости на 2: число делится на 2 без остатка тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру.

Признаки делимости на 3 и 9: число делится на 3 (9) без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3 (9).

Признак делимости на 4: число делится на 4 без остатка тогда и только тогда, когда если число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4.

Признак делимости на 5: число делится на 5 без остатка тогда и только тогда, когда оно заканчивается на цифру 5 или 0.

Признак делимости на 7 и на 13. Чтобы узнать, делится ли натуральное число на 7 или на 13, надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может содержать две или одну цифру) и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными номерами со знаком плюс. Если значение получившегося выражения делится на 7 (соответственно на 13), то и заданное число делится на 7 (соответственно на 13) [5].

Признак делимости на 11: Число делится на 11 без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 [5].

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 [4].

Признак делимости на 19: число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 [4].

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа:

Признак делимости на 6: число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на 3.

т.к. 6 = 2 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 2 и на 3.

Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда две последние цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 12= 4 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 4 и на 3.

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

т.к. 14= 2 ∙ 7, т.е. число должно делиться на 2 и на 7.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 15= 3 ∙ 5, т.е. число должно делиться на 3 и на 5.

Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.

т.к18= 2 ∙ 9, т.е. число должно делиться на 2 и на 9.

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда и только тогда, когда число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная.

т.к. 20 = 10 ∙ 2 т.е. число должно делиться на 2 и на 10.

Признак делимости на 25: число, содержащее не менее трех цифр, делится на 25 тогда и только тогда, когда делится на 25 число, образованное двумя последними цифрами.

Признак делимости на 125: число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 125 тогда и только тогда, когда делится на 125 число, образованное тремя последними цифрами.

Все выше перечисленные признаки обобщены в виде таблицы.

ТАБЛИЦА ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ

ЛИТЕРАТУРА

1. Воробьев Н.Н. Признаки делимости—4-е изд.—М.:Наука, 1988.— С. 96.

2. Яковлин М.В. Свойства чисел, аналогичных теореме Безу, «математика в школе», 1991, №6.

3. http://dic.academic.ru/ (Википедии — свободной энциклопедии).

4. http://www.bymath.net (энциклопедия).

5. Виленкин Н.Я. Алгебра 8 кл. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М. Просвещение, 1995.

6