Признаки монотонности. Определение монотонности с помощью производной функции

 Исследование  функции на возрастание и убывание (монотонность).

Определение. Точка называется критической (стационарной), если она является внутренней точкой области определения и производная в ней равна нулю или не существует.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в),   т.е.f'(x) 0,  то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x)

Признаки  максимума и минимума функции:

Если при переходе через стационарную точку х0  производная f'(x)  данной функции меняет знак с « – » на « + »,  то функция в этой точке х₀ имеет минимум. Если при переходе через стационарную точку х₀  производная f'(x) данной функции меняет знак с « + » на « – »,  то функция в этой точке х₀ имеет максимум.

Задание 1. Исследовать на возрастание и убывание  следующие функции:

1) 

Решение. D(f): х =/= 0.

  0  при х =/= 0.

Ответ: функция возрастает на (–   ; 0) и (0;  +  ).

2) f(x)  =  x³ – 27x

Решение. D(f): R.

критические точки

Ответ: функция возрастает на (–   ;  – 3] и [3;  +  ), убывает [ – 3; 3].

 Задание 2. Исследовать на максимум и минимум следующие функцию.

Решение. D(f): х =/= ± 2.

Ответ: экстремумов нет.