Признаки подобия треугольников. Применение подобия к решению задач.

Признаки подобия треугольников

К учебнику Л.С.Атанасяна

Геометрия 7 - 9, Глава VII, 8 класс

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Первый признак подобия треугольников

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

В 1

В

С 1

С

А

А 1

Первый признак подобия треугольников

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

В 1

В

С 1

С

А

А 1

Первый признак подобия треугольников

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

В 1

В

С 1

С

А

А 1

Вывод: У треугольников АВС и А 1 В 1 С 1

Второй признак подобия треугольников

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

С 1

С

В 1

А 1

В

А

1

2

С 2

Второй признак подобия треугольников

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

С

С 1

В 1

А 1

В

А

2

1

С 2

Третий признак подобия треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

С 1

С

В 1

А 1

А

В

2

1

С 2

Третий признак подобия треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

С 1

С

В 1

А 1

В

А

2

1

С 2

Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

Средняя линия треугольника

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

В

M

2

N

1

С

А

Свойство медиан треугольника

Задача. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 :1, считая от вершины.

В

M

N

4

2

О

3

1

Аналогично, точка пересечения медиан СМ и ВК делит каждую из них в отношении 2 : 1. считая от вершины, и следовательно, совпадает с точкой О.

С

А

К

Вывод: Все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Свойство медиан треугольника

Задача. Доказать, что медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольника

В

S 5

S 4

M

N

h

h

S 3

S 6

О

S 1

h

S 2

А

С

К

Свойство медиан треугольника

Задача. Доказать, что медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольника

В

S 4

S 5

M

N

АО = 2х, ОN = x

BO = 2y, OK = y

CO = 2z, OM = z

S 3

S 6

О

S 1

S 2

С

А

К

Свойство медиан треугольника

№ 571 (Геометрия 7-9, автор Л.С. Атанасян) В треугольнике АВС медианы АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S.

В

Проведем медиану СС1, Медианы разбили треугольник АВС на 6 равновеликих треугольников.

С 1

В 1

О

С

А

В 1

Свойство медиан треугольника

№ 569 (Геометрия 7-9, автор Л.С. Атанасян) Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

В

С

Проведем среднюю линию МК.

По теореме Фалеса МК пересечет отрезки АС и ВД в их серединах Р и Т.

Р

Т

М

К

Требуется доказать, что РТ параллелен основаниям АД и ВС и равен полуразности оснований.

Д

А

МК II ВС, МК II АД.

РТ- часть МК, поэтому РТ II АД и РТ II ВС.

Введем обозначения: BC = a, АД = b

Свойство медиан треугольника

№ 618 (Геометрия 7-9, автор Л.С. Атанасян) Точки М и N являются соответственно серединами сторон СД и ВС параллелограмма АВСД. Докажите, что прямые АМ и АN делят диагональ ВД на три равные части.

Доказать: ВК = КН = НД

М

В

С

Проведем диагональ АС,

К

Треугольник АВС: АМ – медиана, ВО – медиана, К – точка пересечения медиан, поэтому ВК : КО = 2 : 1, ВК = 2х, КО = х

О

N

Н

Д

А

Треугольник АСД: АN – медиана, ДО – медиана, Н – точка пересечения медиан, поэтому ДН : НО = 2 : 1, ДН = 2у, НО = у

ВО=2х+х=3х , ОД=2у+у= 3у

ВО = ОД, 3х = 3у, х = у

ВК=2х, КН=2х, НД=2х

Получили: ВК = КН = НД