Проект "Его сиятельство граф математический"

Министерство образования и молодежной политики Свердловской области

Департамент образования Администрации города Екатеринбурга

Муниципальное образование «город Екатеринбург»

Ленинский район

Муниципальное Автономное Общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 19

Направление: естественнонаучное (математика)

Проект

Его сиятельство граф математический

Автор проекта: Лешукова Маргарита Алексеевна, 5 класс

Научный руководитель: Луценко Наталия Николаевна,

учитель математики

2020

Оглавление

Введение ...................................................……………………………………3

1. Теоретическая часть………………………………………………..5

   1. Основоположник теории графов Л. Эйлер и его знаменитая задача о мостах; 5

   2. Виды графов; 6

   3. Где и для чего используются графы; 7

2. Исследовательская часть…………………………………………….8

   1. Анкетирование, с целью выяснить, что учащиеся школы знают о графах; 8

   2. Применение графа дерево для построения генеалогического древа семьи Лешуковых; 9

   3. Применение графа для построения социограммы по результатам диагностики межличностных отношений в коллективе 5-А класса; 9

Заключение 10

Литература 11

Приложения 12-18

Введение

Математика — это доказательство

самых очевидных вещей, наименее

очевидным способом.

Джордж Пойа

На одном из занятий математического кружка мы решали следующую задачу: нужно было выяснить, сколько существует чисел меньших 100, цифры которых идут в возрастающем порядке. Мы договорились записать однозначные числа как двузначные, приписав к ним слева 0. Для решения задачи нужно было выписать все такие числа или догадаться, что в первом десятке их 9, во втором-8 и так далее. Затем мы сложили числа, применив интересный способ 9+8+7+6+5+4+3+2+1=(9+1)+(8+2)+(7+3)+(6+4)+5+45. На решение задачи потребовалось не так уж мало времени, а затем учитель показал нам другой способ решения с использованием рисунка. Для этого нужно было отметить на окружности 10 точек, подписать около каждой точки цифру от 0 до 9 и соединить точки отрезками. Подсчитав количество получившихся отрезков, мы получили число нужных нам чисел. Так как каждый отрезок соединял две цифры, из которых можно было составить число, цифры которого расположены по возрастанию.

Оказалось, что такие рисунки в математике называются графами. Меня очень заинтересовало это понятие. До этого я знала, что граф это дворянский титул. Захотелось выяснить, кто их придумал, какие виды графов существуют и где они применяются в обычной жизни. А ещё я решила проверить смогу ли я сама использовать графы и как это сделать.

Мы выдвинули следующую гипотезу: графы широко применяются в различных областях человеческой деятельности и любой пятиклассник может применять их с пользой для себя.

Объект исследования: математические графы.

Предмет исследований: графы как способы решения задач в математике, других областях науки и просто в жизни.

Цель: показать, насколько важно знать о графах и уметь их применять.

Задачи:

1. Собрать, проанализировать и изучить информацию о графах, истории их происхождения, видах, сферах и возможностях применения.

2. Научиться применять графы при решении задач;

3. Выяснить и проанализировать, насколько осведомлены учащиеся нашей школы о графах и возможностях их использования;

4. Построить с помощью графа дерева генеалогическое древо своей семьи;

5. Применить теорию графов при построении социограммы диагностики межличностных отношений в 5-А классе.

Методы исследования: Наблюдение, анализ, обобщения, сравнения, опрос, анкетирование, систематизация, отчет.

1. Происхождение понятия граф, виды графов и области их применения.

1.1. Основоположник теории графов Л. Эйлер и его знаменитая задача о мостах

Математические графы с дворянским титулом «граф» связывает общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу.

Графом в математике называют фигуру, которая состоит из точек (вершин графа) и линий (рёбер) их соединяющих.

Впервые этот термин ввёл венгерский математик Д. Кениг в 1936 г.

Но основоположником теории графов, которая тесно связана с такими областями математики как топология и комбинаторика, всё же по праву считается выдающийся математик Леонард Эйлер.

Тем, кто любит решать олимпиадные задачи, хорошо знакомы задачи о мостах и возможностях их обхода. Впервые одна из таких задач была решена Л. Эйлером. Приведём отрывок из письма Эйлера «Мне была предложена задача об острове, расположенном в г. Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто 7 мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно…»

Эйлер изобразил участки суши точками, а мосты линиями их соединяющими, получив тем самым граф. Он вывел три важных правила. Но прежде, чем сформулировать их договоримся называть точки, в которых сходятся четное количество линий «четными» точками, а «нечетными», те в которых сходится нечетное количество линий (ребер).

1. Если «нечетных» точек в фигуре нет, то её можно начертить одним росчерком.

2. Если в фигуре (графе) две «нечетные» точки, то её можно начертить одним росчерком, начав обход из одной такой точки и закончив во второй.

3. Если в фигуре более двух нечетных точек, то её нельзя начертить одним росчерком

В задаче Эйлера у графа было более двух «нечетных» точек, поэтому условие задачи невозможно было выполнить.

1.2. Виды графов

Существуют различные классификации видов графов. Приведем названия графов, которые мы нашли в различных источниках:

• Ориентированные и неориентированные графы

• Графы с петлями, смешанные графы, пустые графы, мультиграфы, обыкновенные графы, полные графы;

• Двудольный граф;

• Эйлеров граф;

• Регулярный граф;

• Гамильтонов граф;

• Взвешеный граф;

• Графы-деревья;

• Изоморфный граф.

Например, Элеров граф – это граф, в котором можно обойти все вершины и при этом каждое ребро пройти только один раз.

1.3. Где и для чего используются графы

Графы можно применить почти везде. В химии графы используют для описания сложных реакций, в информатике и программировании используют для построения граф-схем алгоритма, в физике при построении печатных схем, в психологии для построения социограмм, в математике, экономике, логистике тоже используются графы.

В математике с помощью графов можно решить множество задач: логических, комбинаторных и других. Любой многогранник в трёхмерном пространстве – это тоже граф.

Блок- схемы программ для ЭВМ тоже являются графами.

Схема авиалиний и железных дорог представлены в виде графов.

Карта звездного неба состоит из графов (созвездий).

При составлении генеалогических древ семей и родов тоже используется граф.

Социограммы, изображающие межличностные отношения в психологии рисуют в виде графов.

Итак, из всего вышесказанного хорошо видно насколько велика практическая ценность теории графов, доказательство которой и являлось целью данного исследования.

2. Исследовательская часть

2.1. Анкетирование, с целью выяснить, что учащиеся школы знают о графах

Чтобы выяснить знакомо ли учащимся нашей школы понятие граф я провела опрос – анкету.

В анкете были следующие вопросы:

1. Что такое граф в математике?

2. Сколько ты знаешь значений слова «граф»?

3. Сколько видов графов ты знаешь?

Результаты анкеты представлены в таблице.

Как видно из таблицы, учащиеся среднего звена плохо знакомы с понятием граф. Им я бы рекомендовала больше узнать о графах и пользе их применения. Я планирую выступить перед учащимися 5-х классов на уроках математике и рассказать им то, что важного узнала о графах сама.

Учащиеся выпускных классов больше знают о графах видимо потому, что изучали графы на уроках математики и информатики.

2.2. Применение графа дерево для построения генеалогического древа семьи Лешуковых

Для иллюстрации практического применения графов я построила генеалогическое древо своей семьи (смотри приложение 1).

При построении генеалогического древа я использовала граф дерево, а цепочку провела от потомков к предкам. Древо начинается с меня и доходит до моих прапрадедушек и прапрабабушек.

Для того чтобы построить граф дерево своей родословной я опросила родителей, бабушек и дедушек, изучила семейные фотоархивы.

1. Применение графа для построения социограммы по результатам диагностики межличностных отношений в коллективе 5-А класса;

Чтобы показать применение графов в психологии мы совместно с психологом школы провели диагностику межличностных отношений в нашем 5-А классе. В нашем классе есть проблемы с дисциплиной, учащиеся не всегда по доброму относятся друг к другу. Думаю, данное исследование поможет решить некоторые вопросы, разобраться в причинах конфликтов между ребятами. Результат исследований мы представили в виде графа (смотри приложение 2).

Заключение

Работая над проектом, я узнала много нового. Собрала, проанализировала информацию о: графах, их происхождении, видах, областях применения, выяснила, что учащиеся нашей школы плохо знакомы с данной темой. Я провела ряд исследований, показала как любой человек, даже школьник, может использовать в своей работе, жизни различные виды графов. В дальнейшем я планирую продолжить работу над этой темой, чтобы подробнее разобрать вопрос применения графов при решении олимпиадных задач.

10